10 мин чтенияимпульсэнергияработамощностьстолкновения

Законы сохранения в механике

Импульс, работа, мощность, кинетическая и потенциальная энергия, закон сохранения энергии и столкновения.

Открываем тему…

Импульс

\vec p=m\vec v,\qquad \vec F\Delta t=\Delta\vec p

Импульс тела и теорема об изменении импульса.

В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется. Это работает и для столкновений, и для взрывов, и для отдачи при выстреле — даже если внутренние силы велики и неизвестны. Для незамкнутых систем импульс сохраняется в проекции на ось, вдоль которой внешние силы не действуют.

m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u

Абсолютно неупругий удар (тела слипаются).

Работа и энергия

A=Fs\cos\alpha,\qquad N=\frac{A}{t}=Fv\cos\alpha

Работа постоянной силы и мощность.

E_k=\frac{mv^2}{2},\quad E_p=mgh,\quad E_{p,\mathrm{el}}=\frac{kx^2}{2}

Кинетическая, потенциальная и энергия упругой деформации.

A_{\mathrm{all}}=\Delta E_k,\qquad E_k+E_p=\mathrm{const}

Теорема о кинетической энергии и закон сохранения механической энергии.

Работа силы трения всегда отрицательна и переводит энергию в тепло.
КПД: η = Aполезная / Aзатраченная · 100 %.
Неупругий удар: механическая энергия не сохраняется, часть переходит в теплоту.
Упругий удар: сохраняются и импульс, и энергия.

ПримерНеупругий удар

Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,5 м/с, сцепляется с неподвижным вагоном массой 30 т. Найдите скорость после сцепки.

Решение

20·0,5 = (20 + 30)·u, u = 10 / 50 = 0,2 м/с.

ПримерСкорость у основания горки

Тело соскальзывает без трения с высоты 5 м. Найдите скорость внизу. g = 10 м/с².

Решение

mgh = mv²/2, v = √(2gh) = √100 = 10 м/с.

ПримерОтдача при прыжке с лодки

Человек массой 60 кг прыгает с покоящейся лодки массой 120 кг на берег со скоростью 3 м/с относительно берега (горизонтально). Какую скорость приобретёт лодка? Сопротивлением воды пренебречь.

Решение

Система «человек + лодка» замкнута в горизонтальном направлении, начальный импульс равен нулю: 0 = m·v + M·u. u = −mv/M = −60·3/120 = −1,5 м/с. Лодка движется в сторону, противоположную прыжку, со скоростью 1,5 м/с.

ПримерМощность двигателя

Автомобиль едет равномерно по горизонтальной дороге со скоростью 20 м/с. Суммарная сила сопротивления движению равна 500 Н. Какую мощность развивает двигатель?

Решение

При равномерном движении сила тяги равна силе сопротивления: F = 500 Н. N = Fv = 500·20 = 10 000 Вт = 10 кВт.

ПримерЭнергия сжатой пружины

Пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 10 см и выталкивает шарик массой 0,1 кг по гладкой горизонтальной поверхности. Найдите скорость шарика после отрыва от пружины.

Решение

Энергия пружины переходит в кинетическую: kx²/2 = mv²/2. v = x√(k/m) = 0,1·√2000 ≈ 0,1·44,7 ≈ 4,5 м/с. (Энергия: 200·0,01/2 = 1 Дж, v = √(2·1/0,1) = √20 ≈ 4,5 м/с.)

ПримерУпругий удар одинаковых шаров

Шар массой m, движущийся со скоростью v, упруго сталкивается с покоящимся шаром такой же массы (центральный удар). Найдите скорости шаров после удара.

Решение

Импульс: mv = mv₁ + mv₂. Энергия: mv²/2 = mv₁²/2 + mv₂²/2. Из первого v = v₁ + v₂, из второго v² = v₁² + v₂². Возведя первое в квадрат, получаем 2v₁v₂ = 0. Так как первый шар не может «пройти сквозь» второй, v₁ = 0, v₂ = v: шары обмениваются скоростями.

← Кинематика и динамика Гидростатика: давление и закон Архимеда →