13 мин чтениямеханикакинематикадинамиказаконы Ньютона

Кинематика и динамика

Равноускоренное движение, баллистика, законы Ньютона, силы тяжести, упругости, трения и движение по окружности.

Открываем тему…

Кинематика

Кинематика описывает движение без причин: положение тела, скорость и ускорение. Все величины векторные, поэтому в задачах сначала выбирают систему отсчёта и направление осей, а затем записывают проекции.

v=v_0+at,\qquad x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2},\qquad v^2-v_0^2=2a\,s

Равноускоренное прямолинейное движение (в проекциях на ось).

Равномерное движение: x = x₀ + vt, ускорение равно нулю.
Свободное падение: a = g ≈ 10 м/с², направлено вниз; сопротивлением воздуха пренебрегают.
График v(t): наклон — ускорение, площадь под графиком — путь (перемещение).
График x(t): наклон — скорость.

Движение под углом к горизонту

Интерактивная иллюстрация

v₀, м/с20Угол, °45

Дальность максимальна около 45°. Высота растёт с углом и скоростью.

Траектория тела, брошенного под углом α к горизонту.

x=v_0\cos\alpha\cdot t,\quad y=v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}

По горизонтали — равномерно, по вертикали — равноускоренно.

t_{\mathrm{flight}}=\frac{2v_0\sin\alpha}{g},\quad H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g},\quad L=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}

Время полёта, максимальная высота и дальность (до возвращения на исходную высоту).

ПримерКамень, брошенный вертикально вверх

Камень брошен вверх со скоростью 20 м/с. Найдите максимальную высоту подъёма. g = 10 м/с².

Решение

В верхней точке v = 0: v² − v₀² = −2gH, H = v₀² / (2g) = 400 / 20 = 20 м.

Динамика

\vec F_{\mathrm{net}}=m\vec a

Второй закон Ньютона. Третий: силы взаимодействия равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам.

Сила тяжести F = mg; вес тела — сила, с которой тело действует на опору или подвес.
Сила упругости (закон Гука): F = kΔx.
Сила трения скольжения: F = μN; трение покоя достигает значения до μN.
Закон всемирного тяготения: F = G·m₁m₂ / r².
Центростремительное ускорение: a = v² / R = ω²R.

ПримерБрусок на наклонной плоскости

Брусок скользит по наклонной плоскости с углом α = 30° и коэффициентом трения μ = 0,2. Найдите ускорение. g = 10 м/с², cos 30° ≈ 0,87.

Решение

Вдоль плоскости: ma = mg sinα − μmg cosα. a = g(sinα − μ cosα) = 10·(0,5 − 0,174) ≈ 3,3 м/с².

ПримерГоризонтальный бросок

Мяч брошен горизонтально со скоростью 15 м/с с высоты 80 м. Найдите время полёта, дальность полёта и модуль скорости в момент падения. g = 10 м/с².

Решение

Вертикально — свободное падение: h = gt²/2, t = √(2h/g) = √16 = 4 с. По горизонтали — равномерно: L = v₀t = 15·4 = 60 м. В момент падения v_y = gt = 40 м/с, v = √(15² + 40²) = √1825 ≈ 43 м/с.

ПримерСвязанные тела: нить и блок

Брусок массой 3 кг лежит на гладком столе и соединён нитью, перекинутой через лёгкий блок, с грузом массой 2 кг, висящим вертикально. Найдите ускорение системы и силу натяжения нити. g = 10 м/с².

Решение

Нить нерастяжима, ускорения одинаковы. Для бруска: T = m₁a. Для груза: m₂g − T = m₂a. Сложив, получаем a = m₂g/(m₁ + m₂) = 20/5 = 4 м/с². T = m₁a = 3·4 = 12 Н.

ПримерВыпуклый мост

Автомобиль массой 1000 кг проезжает верхнюю точку выпуклого моста радиусом 40 м со скоростью 10 м/с. С какой силой он давит на мост? g = 10 м/с².

Решение

Центр окружности — внизу. Второй закон Ньютона в проекции на вертикаль: mg − N = mv²/R. N = m(g − v²/R) = 1000·(10 − 2,5) = 7500 Н. По третьему закону Ньютона сила давления на мост равна 7500 Н (меньше mg: возникает «невесомость» с ростом скорости).

ПримерЛифт и вес тела

Человек массой 60 кг стоит в лифте, движущемся вверх с ускорением 2 м/с². Каков его вес? g = 10 м/с².

Решение

Ось вверх: N − mg = ma, N = m(g + a) = 60·12 = 720 Н. Вес по модулю равен силе реакции опоры: P = 720 Н. Если ускорение направлено вниз, P = m(g − a) = 480 Н.

Законы сохранения в механике →