16 мин чтенияМКТгазтермодинамикатеплотаКПДизопроцессыфазовые переходы

МКТ и термодинамика

Основное уравнение МКТ, уравнение состояния идеального газа, изопроцессы, первое начало термодинамики и тепловые машины.

Открываем тему…

Молекулярно-кинетическая теория

Вещество состоит из частиц, которые непрерывно и хаотически движутся и взаимодействуют. Температура характеризует среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. Абсолютная шкала измеряется в кельвинах: T = t + 273.

p=nkT,\qquad \overline{E_k}=\frac32kT,\qquad p=\frac13 nm_0\overline{v^2}

Основное уравнение МКТ идеального газа (n — концентрация, k — постоянная Больцмана).

pV=\nu RT=\frac mM RT

Уравнение Менделеева — Клапейрона.

Изопроцессы

Изотермический (T = const): pV = const (закон Бойля — Мариотта).
Изобарный (p = const): V / T = const (закон Гей-Люссака).
Изохорный (V = const): p / T = const (закон Шарля).
Адиабатный: Q = 0, газ изменяет температуру только за счёт работы.

Термодинамика

\Delta U=Q+A_{\mathrm{on}}=Q-A_{\mathrm{gas}},\qquad U=\frac32\nu RT

Первое начало термодинамики и внутренняя энергия одноатомного идеального газа.

A_{\mathrm{gas}}=p\Delta V\ (p=\mathrm{const}),\qquad \eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}\le1-\frac{T_2}{T_1}

Работа при изобарном процессе и КПД тепловой машины (максимум — цикл Карно).

Количество теплоты при нагреве: Q = cmΔt; при плавлении: Q = λm; при парообразовании: Q = Lm.
Уравнение теплового баланса: сумма отданного равна сумме принятого количества теплоты.
Относительная влажность: φ = p / pнас · 100 %.

ПримерИзобарное расширение

Один моль идеального одноатомного газа нагрели при постоянном давлении на 100 К. Какое количество теплоты получил газ? R = 8,31 Дж/(моль·К).

Решение

ΔU = (3/2)RΔT = 1,5·8,31·100 ≈ 1247 Дж; A = RΔT = 831 Дж. Q = ΔU + A ≈ 2078 Дж.

ПримерУравнение состояния

В сосуде объёмом 0,03 м³ находится 3 моль идеального газа при температуре 27 °C. Найдите давление газа. R = 8,31 Дж/(моль·К).

Решение

T = 27 + 273 = 300 К. p = νRT/V = 3·8,31·300 / 0,03 = 249 300 Па ≈ 249 кПа.

ПримерУравнение теплового баланса

В 300 г воды при 20 °C влили 100 г воды при 80 °C. Какая температура установится? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение

Холодная вода получила столько же теплоты, сколько отдала горячая: c·0,3·(t − 20) = c·0,1·(80 − t). 0,3t − 6 = 8 − 0,1t, 0,4t = 14, t = 35 °C.

ПримерРабота газа по графику цикла

Газ совершает цикл 1–2–3–4 в координатах (p, V): прямоугольник с давлениями 1·10⁵ Па и 3·10⁵ Па и объёмами 1 л и 3 л. Найдите работу газа за цикл.

Решение

Работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком. A = (3·10⁵ − 1·10⁵)·(3·10⁻³ − 1·10⁻³) = 2·10⁵·2·10⁻³ = 400 Дж. Если цикл идёт по часовой стрелке, работа газа положительна.

ПримерКПД тепловой машины и влажность

а) За цикл тепловая машина получает от нагревателя 800 Дж и отдаёт холодильнику 600 Дж. Найдите КПД. б) Парциальное давление водяного пара в воздухе 1,5 кПа, давление насыщенного пара при этой температуре 2,5 кПа. Найдите относительную влажность.

Решение

а) Полезная работа A = Q₁ − Q₂ = 200 Дж, η = A/Q₁ = 200/800 = 0,25 = 25 %. б) φ = p/p_нас·100 % = 1,5/2,5·100 % = 60 %.

Количество вещества и число молекул

\nu=\frac mM=\frac N{N_A},\qquad N_A\approx6\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1},\qquad m_0=\frac M{N_A}

Количество вещества, число Авогадро и масса одной молекулы (M — молярная масса, кг/моль).

ПримерЧисло молекул и масса молекулы воды

Сколько молекул содержится в 90 г воды и чему равна масса одной молекулы? Молярная масса воды 18·10⁻³ кг/моль, N_A = 6·10²³ моль⁻¹.

Решение

ν = m/M = 0,09/0,018 = 5 моль. N = νN_A = 5·6·10²³ = 3·10²⁴. Масса одной молекулы m₀ = M/N_A = 18·10⁻³/(6·10²³) = 3·10⁻²⁶ кг.

Первый закон термодинамики для изопроцессов

Изохорный (V = const): A = 0, Q = ΔU = (3/2)νRΔT.
Изобарный (p = const): A = pΔV = νRΔT, Q = ΔU + A = (5/2)νRΔT.
Изотермический (T = const): ΔU = 0, Q = A_газа — вся полученная теплота идёт на работу (при сжатии газ отдаёт теплоту).
Адиабатный (Q = 0): ΔU = −A_газа; при расширении газ охлаждается, при сжатии — нагревается.

ПримерИзотермическое сжатие

Газ объёмом 6 л при давлении 100 кПа медленно сжали при постоянной температуре до 2 л. Каким стало давление? Получил или отдал газ теплоту?

Решение

По закону Бойля — Мариотта p₁V₁ = p₂V₂: p₂ = 100·6/2 = 300 кПа. Температура постоянна, поэтому ΔU = 0. Внешние силы совершили положительную работу над газом, значит Q = ΔU − A_on = −A_on < 0: газ отдал теплоту окружающей среде.

ПримерАдиабатное расширение

Два моля одноатомного идеального газа расширяются без теплообмена с окружающей средой и совершают работу 500 Дж. Как и на сколько изменилась температура газа? R = 8,31 Дж/(моль·К).

Решение

Q = 0, поэтому ΔU = −A_газа = −500 Дж. ΔU = (3/2)νRΔT, ΔT = ΔU/((3/2)νR) = −500/(1,5·2·8,31) ≈ −20 К. Газ охладился примерно на 20 К.

Агрегатные превращения и насыщенный пар

Нагревание: Q = cmΔt; плавление: Q = λm; парообразование: Q = Lm; сгорание топлива: Q = qm.
Во время плавления кристалла и кипения жидкости температура остаётся постоянной — теплота идёт на разрыв связей между частицами.
Насыщенный пар находится в динамическом равновесии со своей жидкостью; его давление зависит только от температуры и не зависит от объёма (при уменьшении объёма часть пара конденсируется).
Если воздух охлаждать, его относительная влажность растёт; при достижении точки росы (φ = 100 %) начинается конденсация.

ПримерНагревание и плавление льда

Какое количество теплоты нужно, чтобы 0,5 кг льда при −10 °C превратить в воду при 20 °C? c_льда = 2100 Дж/(кг·°C), λ = 3,3·10⁵ Дж/кг, c_воды = 4200 Дж/(кг·°C).

Решение

Три этапа. Нагрев льда до 0 °C: Q₁ = 2100·0,5·10 = 10 500 Дж. Плавление: Q₂ = 3,3·10⁵·0,5 = 165 000 Дж. Нагрев воды до 20 °C: Q₃ = 4200·0,5·20 = 42 000 Дж. Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ = 217 500 Дж ≈ 217,5 кДж.

ПримерЦикл Карно

Нагреватель идеальной тепловой машины имеет температуру 500 К, холодильник — 300 К. За цикл машина получает от нагревателя 10 кДж. Найдите КПД, работу за цикл и количество теплоты, отданное холодильнику.

Решение

η = 1 − T₂/T₁ = 1 − 300/500 = 0,4 = 40 %. A = ηQ₁ = 4 кДж. Q₂ = Q₁ − A = 6 кДж.

← Гидростатика: давление и закон Архимеда Электростатика и постоянный ток →