Е
10 мин чтенияСТОE = mc²размерностьединицы СИоценка

Элементы СТО, размерности и оценки

Постулаты специальной теории относительности, связь массы и энергии, замедление времени и сложение скоростей; производные единицы СИ, проверка размерностей и оценки порядка величин.

Открываем тему…

Постулаты специальной теории относительности

  1. Принцип относительности Эйнштейна: все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
  2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от скорости источника и приёмника света; c ≈ 3·10⁸ м/с — предельная скорость передачи взаимодействий.
E0=mc2,E=γmc2,Ek=E−E0=(γ−1)mc2,γ=11−v2/c2E_0=mc^2,\qquad E=\gamma mc^2,\qquad E_k=E-E_0=(\gamma-1)mc^2,\qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}
Энергия покоя, полная и кинетическая энергия тела (γ — лоренц-фактор).
Δt=γ Δt0,l=l0γ,u=v1+v21+v1v2/c2\Delta t=\gamma\,\Delta t_0,\qquad l=\frac{l_0}{\gamma},\qquad u=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2}
Замедление времени, сокращение длины и релятивистский закон сложения скоростей.
ПримерЭнергия покоя
Найдите энергию покоя тела массой 1 г. Сколько времени могла бы работать лампа мощностью 100 Вт за счёт этой энергии? c = 3·10⁸ м/с.
Решение
E₀ = mc² = 10⁻³·9·10¹⁶ = 9·10¹³ Дж. Время t = E₀/P = 9·10¹³/100 = 9·10¹¹ с ≈ 28 500 лет.
ПримерПотеря массы Солнцем
Мощность излучения Солнца 3,8·10²⁶ Вт. На сколько уменьшается масса Солнца за 1 с из-за излучения? c = 3·10⁸ м/с.
Решение
Излучённая за секунду энергия E = Pt = 3,8·10²⁶ Дж. Δm = E/c² = 3,8·10²⁶/(9·10¹⁶) ≈ 4,2·10⁹ кг. Масса Солнца при этом практически не меняется (порядка 2·10³⁰ кг).
ПримерЗамедление времени
Нестабильная частица, движущаяся со скоростью 0,6c, в собственной системе отсчёта живёт 2 мкс. Каково время жизни в лабораторной системе и какое расстояние она пролетает?
Решение
γ = 1/√(1 − 0,36) = 1/0,8 = 1,25. Δt = γΔt₀ = 1,25·2 = 2,5 мкс. Путь s = vΔt = 0,6·3·10⁸·2,5·10⁻⁶ = 450 м.
ПримерСложение скоростей
Ракета удаляется от Земли со скоростью 0,5c и выпускает вперёд снаряд со скоростью 0,5c относительно ракеты. Какова скорость снаряда относительно Земли?
Решение
По релятивистскому закону u = (0,5c + 0,5c)/(1 + 0,25) = c/1,25 = 0,8c. Классическое сложение дало бы c — результат, противоречащий второму постулату СТО.
ПримерРелятивистский электрон
Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя (0,511 МэВ). Найдите полную энергию и скорость электрона.
Решение
E = E₀ + E_k = 2E₀ ≈ 1,02 МэВ, поэтому γ = 2. v = c√(1 − 1/γ²) = c√0,75 ≈ 0,87c.

Производные единицы СИ и размерности

  • Н = кг·м/с²; Дж = Н·м = кг·м²/с²; Вт = Дж/с; Па = Н/м² = кг/(м·с²).
  • Кл = А·с; В = Дж/Кл; Ом = В/А; Ф = Кл/В.
  • Тл = Н/(А·м); Вб = Тл·м²; Гн = Вб/А = В·с/А; Гц = с⁻¹.
  • Складывать и приравнивать можно только величины одной размерности; аргументы sin, cos, exp безразмерны.
  • Размерность — быстрый способ проверить формулу и вспомнить, куда входит степень.
ПримерТесла через основные единицы
Выразите единицу магнитной индукции (тесла) через основные единицы СИ: килограмм, метр, секунду, ампер.
Решение
Из F = BIl следует B = F/(Il): 1 Тл = Н/(А·м) = (кг·м/с²)/(А·м) = кг/(А·с²).
ПримерРазмерность гравитационной постоянной
Из закона всемирного тяготения F = G·m₁m₂/r² найдите единицу измерения гравитационной постоянной G в основных единицах СИ.
Решение
G = Fr²/(m₁m₂): Н·м²/кг² = (кг·м/с²)·м²/кг² = м³/(кг·с²).

Оценка порядка величины

  • Типичные значения: масса человека ~70 кг, скорость пешехода ~1,5 м/с, плотность воздуха ~1,2 кг/м³, атмосферное давление ~10⁵ Па, комнатная температура ~300 К.
  • Порядок величины — степень десяти, ближайшая к результату; в оценках достаточно одной значащей цифры.
  • Используйте известные формулы (p = nkT, E = mgh, Q = cmΔt) и округляйте константы: g ≈ 10 м/с², N_A ≈ 6·10²³.
ПримерСколько молекул воздуха в комнате
Оцените число молекул воздуха в комнате объёмом 50 м³ при нормальном атмосферном давлении (10⁵ Па) и температуре 300 К. k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.
Решение
Из p = nkT концентрация n = p/(kT) = 10⁵/(1,38·10⁻²³·300) ≈ 2,4·10²⁵ м⁻³. N = nV ≈ 2,4·10²⁵·50 ≈ 1,2·10²⁷, то есть порядка 10²⁷ молекул.
← Эксперимент, графики и измеренияПерейти к заданиям