Е
10 мин чтениядавлениезакон Паскалясообщающиеся сосудызакон Архимедаплавание тел

Гидростатика: давление и закон Архимеда

Давление твёрдых тел и жидкостей, закон Паскаля, сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс, атмосферное давление, сила Архимеда и условия плавания тел.

Открываем тему…

Давление в жидкостях и газах

Давление — отношение модуля силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности. Единица — паскаль (1 Па = 1 Н/м²). В покоящейся жидкости давление на одном уровне одинаково во всех направлениях и растёт с глубиной.

p=FS,pliq=ρgh,p=p0+ρghp=\frac FS,\qquad p_{\mathrm{liq}}=\rho gh,\qquad p=p_0+\rho gh
Давление, гидростатическое давление столба жидкости и полное давление на глубине h (p₀ — давление на поверхности, например атмосферное).
  • Закон Паскаля: давление, произведённое на жидкость или газ, передаётся без изменения во все точки.
  • Гидростатическое давление зависит только от глубины и плотности жидкости, но не от формы сосуда и количества жидкости.
  • Атмосферное давление у поверхности Земли ≈ 10⁵ Па; 760 мм рт. ст. ≈ 101 325 Па, 1 мм рт. ст. ≈ 133 Па.
  • Сила давления на дно сосуда F = pS в общем случае не равна весу жидкости (она равна ему только у сосуда с вертикальными стенками).
ПримерДавление на глубине
Какое полное давление испытывает водолаз на глубине 20 м в озере? Атмосферное давление 100 кПа, плотность воды 1000 кг/м³, g = 10 м/с².
Решение
Давление столба воды ρgh = 1000·10·20 = 2·10⁵ Па = 200 кПа. Полное давление p = p₀ + ρgh = 100 + 200 = 300 кПа.
ПримерСила давления на дно
В цилиндрический сосуд с площадью дна 50 см² налита вода до высоты 40 см. Найдите давление на дно и силу давления на дно (без учёта атмосферного давления). Сравните с весом воды.
Решение
S = 50 см² = 5·10⁻³ м². p = ρgh = 1000·10·0,4 = 4000 Па. F = pS = 4000·5·10⁻³ = 20 Н. Масса воды m = ρSh = 1000·5·10⁻³·0,4 = 2 кг, вес 20 Н — у цилиндрического сосуда сила давления на дно равна весу жидкости.

Сообщающиеся сосуды и гидравлический пресс

ρ1h1=ρ2h2,F1S1=F2S2\rho_1h_1=\rho_2h_2,\qquad \frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}
Однородная жидкость в сообщающихся сосудах стоит на одном уровне; для разных жидкостей высоты отсчитывают от границы раздела. Второе соотношение — гидравлический пресс.
ПримерВода и масло в U-образной трубке
В U-образную трубку налита вода, а в одно из колен поверх воды — масло плотностью 800 кг/м³. Высота столба масла 25 см. Какова высота столба воды над уровнем границы раздела в другом колене? Плотность воды 1000 кг/м³.
Решение
Давления на уровне границы раздела равны: ρ_м g h_м = ρ_в g h_в. h_в = ρ_м h_м/ρ_в = 800·25/1000 = 20 см. Столб менее плотной жидкости выше.
ПримерГидравлический пресс
Площади поршней гидравлического пресса 10 см² и 200 см². К малому поршню приложена сила 100 Н. Какая сила действует на большой поршень? На сколько опустится малый поршень, если большой поднимется на 1 см?
Решение
F₂ = F₁S₂/S₁ = 100·200/10 = 2000 Н — выигрыш в силе в 20 раз. Объём вытесненной жидкости одинаков: S₁h₁ = S₂h₂, h₁ = h₂S₂/S₁ = 1·20 = 20 см. Выигрыш в силе сопровождается таким же проигрышем в перемещении (золотое правило механики).

Закон Архимеда и плавание тел

FA=ρliq g Vsub,Pin liq=mg−FAF_A=\rho_{\mathrm{liq}}\,g\,V_{\mathrm{sub}},\qquad P_{\mathrm{in\ liq}}=mg-F_A
Сила Архимеда равна весу жидкости в объёме погружённой части тела; вес тела в жидкости (показание динамометра) меньше веса в воздухе.
  • Сила Архимеда направлена вверх и приложена к центру тяжести вытесненного объёма жидкости.
  • Она зависит от плотности жидкости и объёма погружённой части, но не от глубины погружения, массы и материала тела.
  • ρ_тела < ρ_жидкости: тело всплывает и плавает; при плавании F_A = mg.
  • ρ_тела = ρ_жидкости: тело может находиться в равновесии на любой глубине.
  • ρ_тела > ρ_жидкости: тело тонет (F_A < mg).
  • Доля объёма плавающего тела под водой V_погр/V = ρ_тела/ρ_жидкости.
ПримерВес шара в воде
Алюминиевый шар объёмом 200 см³ подвешен на нити и полностью погружён в воду. Плотность алюминия 2700 кг/м³, воды 1000 кг/м³, g = 10 м/с². Найдите силу натяжения нити.
Решение
V = 2·10⁻⁴ м³. Масса m = ρV = 0,54 кг, сила тяжести mg = 5,4 Н. Сила Архимеда F_A = ρ_в gV = 1000·10·2·10⁻⁴ = 2 Н. Шар в равновесии: T + F_A = mg, T = 5,4 − 2 = 3,4 Н.
ПримерЛьдина на воде
Плотность льда 900 кг/м³, воды 1000 кг/м³. Какая часть объёма льдины находится над водой?
Решение
Льдина плавает: ρ_л gV = ρ_в gV_погр, V_погр/V = ρ_л/ρ_в = 0,9. Под водой 90 % объёма, над водой — 10 %.
ПримерГрузоподъёмность плота
Плот состоит из 10 одинаковых брёвен, каждое объёмом 0,1 м³ и плотностью 600 кг/м³. Какова максимальная масса груза, который можно положить на плот, чтобы он не утонул? Плотность воды 1000 кг/м³, g = 10 м/с².
Решение
Предельный случай — плот полностью погружён: V = 1 м³, F_A = ρ_в gV = 10 000 Н. Сила тяжести плота m_п g = 10·0,1·600·10 = 6000 Н. Груз: m_г g = F_A − m_пg = 4000 Н, m_г = 400 кг.
← Статика: рычаг, момент сил, центр массМКТ и термодинамика →