Е
12 мин чтенияколебаниярезонансколебательный контуртрансформаторволны

Колебания и волны: углублённо

Энергия колебательных систем, графики гармонических колебаний, резонанс, колебательный контур, переменный ток и трансформатор, стоячие и электромагнитные волны.

Открываем тему…

Гармонические колебания: величины и энергия

При гармонических колебаниях x(t) = A cos(ωt + φ₀) скорость и ускорение тоже меняются по гармоническому закону, причём скорость опережает смещение по фазе на π/2, а ускорение находится в противофазе со смещением. Полная механическая энергия системы без трения остаётся постоянной и пропорциональна квадрату амплитуды.

vmax⁡=Aω,amax⁡=Aω2,E=kA22=mvmax⁡22v_{\max}=A\omega,\qquad a_{\max}=A\omega^2,\qquad E=\frac{kA^2}{2}=\frac{mv_{\max}^2}{2}
Амплитуды скорости и ускорения и полная энергия пружинного маятника (ω² = k/m).
  • Период и частота определяются только параметрами системы (m, k, l, g, L, C), но не амплитудой.
  • В положении равновесия кинетическая энергия максимальна, потенциальная минимальна; в точках максимального отклонения — наоборот.
  • Через четверть периода от крайней точки тело оказывается в положении равновесия.
  • Частота энергии колебаний (изменения Eₖ и Eₚ) вдвое больше частоты смещения.
ПримерПружинный маятник
Груз массой 0,4 кг на пружине жёсткостью 100 Н/м колеблется с амплитудой 5 см. Найдите период, максимальную скорость и полную энергию колебаний.
Решение
ω = √(k/m) = √250 ≈ 15,8 рад/с, T = 2π/ω ≈ 0,40 с. v_max = Aω = 0,05·15,8 ≈ 0,79 м/с. E = kA²/2 = 100·0,0025/2 = 0,125 Дж (проверка: mv²/2 = 0,4·0,625/2 = 0,125 Дж).
ПримерЧтение закона колебаний
Тело колеблется по закону x = 0,1·cos(4πt) (м). Найдите амплитуду, период, частоту, максимальную скорость и положение тела при t = 0,125 с.
Решение
A = 0,1 м; ω = 4π рад/с, T = 2π/ω = 0,5 с, ν = 2 Гц. v_max = Aω = 0,4π ≈ 1,26 м/с. При t = 0,125 с = T/4 фаза 4π·0,125 = π/2, x = 0,1·cos(π/2) = 0 — тело проходит положение равновесия.

Резонанс

Вынужденные колебания происходят с частотой внешней силы. Если эта частота близка к собственной частоте системы, амплитуда резко возрастает — это резонанс. При малом трении резонансная кривая узкая и высокая, при большом — широкая и низкая; максимум смещается к меньшим частотам. Резонанс может быть полезным (настройка радиоприёмника) и вредным (разрушение мостов).

ПримерРезонансная частота
Собственная частота колебаний маятника 2 Гц. На него действует периодическая сила с частотами 1 Гц, 2 Гц и 3 Гц. При какой частоте амплитуда колебаний максимальна?
Решение
Резонанс возникает при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной: ν = 2 Гц. При 1 и 3 Гц амплитуда меньше.

Электромагнитные колебания

T=2πLC,W=qm22C=LIm22,Im=qmωT=2\pi\sqrt{LC},\qquad W=\frac{q_m^2}{2C}=\frac{LI_m^2}{2},\qquad I_m=q_m\omega
Идеальный колебательный контур: период и энергия (энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки).
  • Когда заряд конденсатора максимален, ток равен нулю (вся энергия — в электрическом поле).
  • Когда ток максимален, заряд конденсатора равен нулю (вся энергия — в магнитном поле катушки).
  • Заряд q(t) и ток I(t) сдвинуты по фазе на π/2: I = q′.
  • Увеличение C или L увеличивает период (уменьшает частоту); диэлектрик в конденсаторе увеличивает C.
ПримерКолебательный контур
В контуре L = 0,1 Гн, C = 10 мкФ. Максимальный заряд конденсатора 100 мкКл. Найдите период колебаний, максимальное напряжение, максимальный ток и полную энергию.
Решение
LC = 0,1·10⁻⁵ = 10⁻⁶ с², √(LC) = 10⁻³ с, T = 2π·10⁻³ ≈ 6,3 мс, ω = 1000 рад/с. U_m = q_m/C = 10⁻⁴/10⁻⁵ = 10 В. I_m = q_mω = 0,1 А. W = q_m²/(2C) = 10⁻⁸/(2·10⁻⁵) = 5·10⁻⁴ Дж; проверка: LI_m²/2 = 0,1·0,01/2 = 5·10⁻⁴ Дж.

Переменный ток и трансформатор

Ueff=Um2,Ieff=Im2,U1U2=N1N2=I2I1U_{\mathrm{eff}}=\frac{U_m}{\sqrt2},\qquad I_{\mathrm{eff}}=\frac{I_m}{\sqrt2},\qquad \frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{I_2}{I_1}
Действующие значения и идеальный трансформатор (потерь нет, P₁ = P₂).
ПримерПонижающий трансформатор
Первичная обмотка трансформатора содержит 1000 витков, вторичная — 100. Первичное напряжение 220 В, вторичная цепь нагружена сопротивлением 11 Ом. Найдите напряжение и ток во вторичной цепи и ток в первичной (потерь нет).
Решение
U₂ = U₁N₂/N₁ = 22 В. I₂ = U₂/R = 2 А. Из P₁ = P₂: I₁ = I₂N₂/N₁ = 0,2 А (проверка: 220·0,2 = 44 Вт = 22·2).

Волны

  • Механические волны — продольные (звук) или поперечные (по струне); переносят энергию, но не вещество.
  • Электромагнитные волны поперечны, в вакууме распространяются со скоростью c = 3·10⁸ м/с; λ = c/ν.
  • Стоячая волна в струне длиной l с закреплёнными концами: l = nλ/2, частоты ν_n = nv/(2l), n = 1, 2, 3…
  • Интерференция двух когерентных источников: максимум при разности хода Δ = kλ, минимум при Δ = (k + ½)λ.
  • Звук: высота определяется частотой, громкость — амплитудой; скорость звука в воздухе ≈ 340 м/с, в воде ≈ 1500 м/с.
ПримерСтоячая волна на струне
Струна длиной 1,2 м закреплена с обоих концов, скорость волны в ней 60 м/с. Найдите частоту основного тона и длину волны второй гармоники.
Решение
Основной тон: l = λ₁/2, λ₁ = 2,4 м, ν₁ = v/λ₁ = 60/2,4 = 25 Гц. Вторая гармоника: l = λ₂, λ₂ = 1,2 м (ν₂ = 50 Гц).
ПримерРадиолокация
Радиолокатор принимает отражённый импульс через 200 мкс после излучения. На каком расстоянии находится цель? Какова длина волны сигнала частотой 100 МГц?
Решение
Сигнал проходит путь до цели и обратно: 2s = ct, s = ct/2 = 3·10⁸·2·10⁻⁴/2 = 3·10⁴ м = 30 км. λ = c/ν = 3·10⁸/10⁸ = 3 м.
← Единицы, погрешности и работа с графикамиЭксперимент, графики и измерения →