Е
11 мин чтениястатикарычагмомент силыцентр массравновесиеблок

Статика: рычаг, момент сил, центр масс

Момент силы, условия равновесия твёрдого тела, правило рычага, центр масс и центр тяжести, виды равновесия, блоки и золотое правило механики.

Открываем тему…

Момент силы и условия равновесия

Тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, характеризуют моментом силы относительно этой оси. Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (длина перпендикуляра). Момент считают положительным, если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке, и отрицательным — против (или наоборот; важно выбрать одно правило для всех сил).

M=F l,l=rsin⁡αM=F\,l,\qquad l=r\sin\alpha
Момент силы F с плечом l (r — расстояние от оси до точки приложения, α — угол между радиус-вектором и силой). Единица — Н·м.
∑F⃗i=0,∑Mi=0\sum\vec F_i=0,\qquad \sum M_i=0
Условия равновесия твёрдого тела: векторная сумма сил равна нулю и алгебраическая сумма моментов относительно любой оси равна нулю.
  • Для тела с закреплённой осью вращения достаточно правила моментов: сумма моментов сил, вращающих по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих против часовой стрелки.
  • Ось для записи моментов выбирают так, чтобы неизвестная сила проходила через неё — её момент равен нулю и она выпадает из уравнения.
  • Сила, линия действия которой проходит через ось, момента не создаёт (плечо равно нулю).
  • Вес однородного тела (балки, стержня) прикладывают в его середине — в центре тяжести.

Рычаг, блоки и золотое правило механики

F1l1=F2l2,F1F2=l2l1F_1l_1=F_2l_2,\qquad \frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}
Правило рычага: рычаг в равновесии, если моменты сил равны. Выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз плечо большей силы меньше.
  • Рычаг даёт выигрыш в силе, но проигрыш в перемещении во столько же раз; выигрыша в работе простые механизмы не дают (золотое правило): A₁ = A₂.
  • Неподвижный блок — рычаг с равными плечами: направление силы меняется, выигрыша в силе нет.
  • Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза (F = P/2) и проигрыш в пути в 2 раза.
  • Наклонная плоскость без трения: сила, параллельная плоскости и удерживающая тело, F = mg sinα.
  • КПД простого механизма η = A_полезная / A_затраченная < 100 % из-за трения и веса подвижных частей.

Центр масс и виды равновесия

xc=m1x1+m2x2+…m1+m2+…x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\dots}{m_1+m_2+\dots}
Координата центра масс системы материальных точек. В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.
  • Центр масс однородного симметричного тела лежит в его геометрическом центре (стержень — середина, диск и шар — центр).
  • Центр масс двух точек лежит на соединяющем их отрезке ближе к тяжёлой: m₁r₁ = m₂r₂, где r — расстояния до центра масс.
  • Устойчивое равновесие: при малом отклонении возникает момент, возвращающий тело (центр тяжести при отклонении поднимается).
  • Неустойчивое равновесие: при отклонении тело уходит ещё дальше от положения равновесия (центр тяжести опускается).
  • Безразличное равновесие: тело остаётся в равновесии в любом положении (шар на горизонтальной плоскости, колесо на оси через центр).
  • Тело на опоре устойчиво, если вертикаль из центра тяжести проходит внутри площади опоры; чем ниже центр тяжести и шире основание, тем устойчивее тело.
ПримерРычаг с грузом и силой
Невесомый рычаг длиной 1,2 м опирается на ось на расстоянии 0,3 м от левого конца. К левому концу подвешен груз массой 6 кг. Какую вертикальную силу нужно приложить к правому концу, чтобы рычаг был в равновесии? g = 10 м/с².
Решение
Плечо левой силы l₁ = 0,3 м, правой l₂ = 1,2 − 0,3 = 0,9 м. Левая сила F₁ = mg = 60 Н. Правило моментов: F₁l₁ = F₂l₂, F₂ = 60·0,3/0,9 = 20 Н.
ПримерБалка на двух опорах
Однородная балка длиной 6 м и массой 30 кг лежит на опорах, расположенных у её концов. На расстоянии 2 м от левого конца стоит человек массой 60 кг. Найдите силы давления на опоры. g = 10 м/с².
Решение
Ось — левая опора (сила N₁ даёт нулевой момент). Моменты: N₂·6 = 300·3 + 600·2 = 900 + 1200 = 2100, N₂ = 350 Н. Из ΣF = 0: N₁ + N₂ = 300 + 600 = 900 Н, N₁ = 550 Н. Проверка: левая опора, ближе к человеку, нагружена сильнее.
ПримерЦентр масс гантели
Два шара массами 1 кг и 4 кг соединены лёгким стержнем длиной 50 см. На каком расстоянии от тяжёлого шара находится центр масс?
Решение
Пусть r — расстояние от центра масс до тяжёлого шара. Тогда m₁(0,5 − r) = m₂r: 1·(0,5 − r) = 4r, 0,5 = 5r, r = 0,1 м = 10 см. Центр масс ближе к более тяжёлому шару.
ПримерСтержень на шарнире и нити
Однородный стержень массой 2 кг и длиной 1 м расположен горизонтально: левый конец закреплён шарниром, правый подвешен на вертикальной нити. На расстоянии 0,4 м от шарнира подвешен груз массой 1 кг. Найдите силу натяжения нити. g = 10 м/с².
Решение
Ось — шарнир (его реакция момента не создаёт). Вес стержня 20 Н приложен в середине (плечо 0,5 м), вес груза 10 Н — с плечом 0,4 м, натяжение нити T — с плечом 1 м. T·1 = 20·0,5 + 10·0,4 = 14, T = 14 Н.
ПримерПодвижный блок и золотое правило
С помощью лёгкого подвижного блока равномерно поднимают груз массой 40 кг на высоту 2 м. Какую силу прикладывают к свободному концу верёвки и на какой длине выбирают верёвку? Трением пренебречь, g = 10 м/с².
Решение
Вес груза 400 Н распределяется на две ветви верёвки: F = 400/2 = 200 Н. Выигрыш в силе в 2 раза означает проигрыш в пути: верёвку выбирают на s = 2h = 4 м. Работа: A = Fs = 200·4 = 800 Дж = mgh — выигрыша в работе нет.
ПримерУдержание груза на наклонной плоскости
Брусок массой 5 кг удерживают на гладкой наклонной плоскости силой, направленной вдоль плоскости. Синус угла наклона равен 0,6. Найдите модуль этой силы и силу нормальной реакции (cos α = 0,8). g = 10 м/с².
Решение
Условие равновесия ΣF = 0. Вдоль плоскости: F = mg sinα = 50·0,6 = 30 Н. Перпендикулярно плоскости: N = mg cosα = 50·0,8 = 40 Н.
← Законы сохранения в механикеГидростатика: давление и закон Архимеда →