12 мин чтенияфотоэффектуравнение Эйнштейнакрасная границаРезерфордспектрыБор

Фотоэффект, атом Резерфорда и спектры

Законы фотоэффекта и уравнение Эйнштейна, красная граница, графики E_k(ν), U_з(ν) и I(U), опыт Резерфорда, постулаты Бора, спектры излучения и поглощения.

Открываем тему…

Законы фотоэффекта

Фотоэффект — вырывание электронов из вещества под действием света. Явление объясняется квантовой природой света: излучение поглощается порциями (фотонами) энергии E = hν, и каждый фотон передаёт энергию одному электрону. Поток света характеризуется интенсивностью: чем она больше, тем больше фотонов падает на поверхность в единицу времени.

Фототок насыщения (число вылетающих за секунду электронов) пропорционален интенсивности света при неизменной частоте.
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности и линейно растёт с частотой света.
Для каждого вещества существует красная граница ν_min: при ν < ν_min фотоэффекта нет при любой интенсивности.
Фотоэффект практически безынерционен (до 10⁻⁹ с): электрон вылетает сразу после начала освещения.

h\nu=A_{\mathrm{out}}+E_{k\max},\qquad \nu_{\min}=\frac{A_{\mathrm{out}}}{h},\qquad \lambda_{\max}=\frac{hc}{A_{\mathrm{out}}}

Уравнение Эйнштейна и красная граница. Часть энергии фотона идёт на работу выхода A_вых, остальное — на кинетическую энергию электрона.

eU_{\mathrm{s}}=E_{k\max},\qquad U_{\mathrm{s}}=\frac{h}{e}\nu-\frac{A_{\mathrm{out}}}{e}

Запирающее напряжение U_з — минимальное задерживающее напряжение, при котором фототок прекращается.

h\approx6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{Дж·с}\approx4{,}14\cdot10^{-15}\ \text{эВ·с},\qquad hc\approx1240\ \text{эВ·нм},\qquad 1\ \text{эВ}=1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Дж}

Константы, удобные в расчётах: энергия фотона в эВ равна 1240 / λ[нм].

Графики фотоэффекта

E_k max(ν): прямая линия. Пересечение с осью частот — красная граница ν_min = A/h; продолжение до оси энергий даёт отрезок −A_вых; тангенс угла наклона равен постоянной Планка h (в эВ·с или Дж·с в зависимости от единиц оси).
U_з(ν): тоже прямая; угловой коэффициент равен h/e, пересечение с осью частот — ν_min.
Графики для разных металлов — параллельные прямые (наклон h одинаков), сдвинутые вдоль оси частот: чем больше A_вых, тем правее красная граница.
I(U) — вольт-амперная характеристика фотоэлемента: при U > 0 ток растёт до насыщения I_н = eN (N — число фотоэлектронов в секунду), при U < 0 убывает до нуля при U = −U_з.
Увеличение интенсивности при той же частоте: I_н растёт пропорционально, U_з не меняется. Увеличение частоты при той же интенсивности: U_з растёт, а число фотонов в секунду (и I_н) уменьшается.

ПримерЗапирающее напряжение

Свет с длиной волны 250 нм освещает металл с работой выхода 4,5 эВ. Найдите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и запирающее напряжение. hc ≈ 1240 эВ·нм.

Решение

Энергия фотона E = 1240/250 ≈ 4,96 эВ. E_k max = E − A = 4,96 − 4,5 ≈ 0,46 эВ. Запирающее напряжение U_з = E_k max/e ≈ 0,46 В.

ПримерПостоянная Планка и работа выхода по графику

График зависимости E_k max от частоты — прямая, пересекающая ось частот при ν₀ = 6·10¹⁴ Гц и проходящая через точку (10¹⁵ Гц; 1,6 эВ). Найдите постоянную Планка (в эВ·с) и работу выхода.

Решение

Угловой коэффициент равен h: h = ΔE_k/Δν = 1,6/(10¹⁵ − 6·10¹⁴) = 1,6/(4·10¹⁴) = 4·10⁻¹⁵ эВ·с. Красная граница отвечает E_k = 0, то есть hν₀ = A: A = 4·10⁻¹⁵·6·10¹⁴ = 2,4 эВ.

ПримерТок насыщения и число электронов

Ток насыщения фотоэлемента равен 3,2 мкА. Сколько электронов вылетает с катода за 1 с, если все они достигают анода? e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

Решение

I_н = eN, N = I_н/e = 3,2·10⁻⁶/(1,6·10⁻¹⁹) = 2·10¹³ электронов в секунду.

ПримерИзменение интенсивности и частоты

Как изменятся фототок насыщения и запирающее напряжение, если при неизменной частоте (выше красной границы) увеличить интенсивность света вдвое? А если вдвое увеличить частоту света при неизменной мощности излучения?

Решение

При удвоении интенсивности число фотонов, а значит, и вылетевших электронов вдвое растёт: I_н увеличивается вдвое, а E_k max и U_з не меняются (определяются только частотой). При удвоении частоты при той же мощности энергия каждого фотона растёт, поэтому U_з увеличивается (больше, чем вдвое, т.к. U_з = (hν − A)/e), а число фотонов в секунду P/(hν) убывает — ток насыщения уменьшается примерно вдвое.

ПримерПроверка возможности фотоэффекта

Работа выхода цинка 4,2 эВ. Возможен ли фотоэффект при освещении цинка светом с длиной волны 600 нм? Найдите красную границу по длине волны.

Решение

Энергия фотона E = 1240/600 ≈ 2,07 эВ < 4,2 эВ — фотоэффекта нет при любой интенсивности. λ_max = hc/A = 1240/4,2 ≈ 295 нм (ультрафиолет): нужен свет с λ ≤ 295 нм.

ПримерИмпульс фотона

Найдите импульс фотона с длиной волны 500 нм. h = 6,6·10⁻³⁴ Дж·с.

Решение

p = h/λ = 6,6·10⁻³⁴/(5·10⁻⁷) = 1,32·10⁻²⁷ кг·м/с.

Опыт Резерфорда и строение атома

Модель Томсона («пудинг с изюмом») предполагала, что положительный заряд равномерно «размазан» по атому. Резерфорд направил пучок α-частиц на тонкую золотую фольгу и обнаружил, что большинство частиц проходит практически без отклонения, а очень малая доля (примерно 1 из 10⁴) рассеивается на большие углы, вплоть до отражения назад. Это возможно, только если в центре атома находится очень малое по размеру, массивное и положительно заряженное ядро.

Планетарная модель: в центре атома — ядро (размер ~10⁻¹⁵ м), вокруг него движутся электроны (размер атома ~10⁻¹⁰ м); почти вся масса атома сосредоточена в ядре.
Заряд ядра равен +Ze, где Z — порядковый номер элемента; в нейтральном атоме Z электронов.
Недостаток классической планетарной модели: движущийся с ускорением электрон должен излучать и падать на ядро — устранён постулатами Бора.

Постулаты Бора и спектры

h\nu=E_m-E_n,\qquad E_n=-\frac{13{,}6\ \text{эВ}}{n^2},\qquad E_{\mathrm{ion}}=13{,}6\ \text{эВ}\ (n=1)

Постулат частот: при переходе с более высокого уровня m на более низкий n излучается фотон, а при поглощении фотона атом переходит на более высокий уровень.

Раскалённые твёрдые тела и жидкости дают непрерывный спектр; разреженные газы — линейчатый спектр излучения, отдельные яркие линии.
Тот же газ, поглощая свет с непрерывным спектром, даёт линейчатый спектр поглощения: тёмные линии на тех же длинах волн, что и в спектре излучения.
Серия Лаймана — переходы на уровень n = 1 (ультрафиолет); серия Бальмера — на n = 2 (видимый свет); серия Пашена — на n = 3 (инфракрасный диапазон).
Атом поглощает только такие фотоны, энергия которых равна разности энергий уровней (либо превышает энергию ионизации: тогда электрон отрывается и уносит остаток энергии).
Чем больше разность энергий уровней, тем выше частота и меньше длина волны испускаемого фотона.
Лазер: вынужденное излучение когерентных фотонов атомами в возбуждённом состоянии (инверсная населённость уровней).

ПримерСиняя линия серии Бальмера

Атом водорода переходит с уровня n = 4 на уровень n = 2. Найдите энергию и длину волны излучённого фотона. E_n = −13,6/n² эВ, hc ≈ 1240 эВ·нм.

Решение

E₄ = −13,6/16 = −0,85 эВ, E₂ = −13,6/4 = −3,4 эВ. hν = E₄ − E₂ = 2,55 эВ. λ = 1240/2,55 ≈ 486 нм — сине-голубая линия видимого диапазона.

ПримерИонизация атома водорода

Электрон в основном состоянии атома водорода поглощает фотон и покидает атом с кинетической энергией 2 эВ. Какова энергия фотона? Какова длина волны фотона на красной границе ионизации?

Решение

Энергия ионизации из основного состояния 13,6 эВ. Энергия фотона hν = 13,6 + 2 = 15,6 эВ. На границе ионизации E_k = 0, hν = 13,6 эВ и λ = 1240/13,6 ≈ 91 нм (ультрафиолет).

ПримерОценка плотности вещества ядра

Размер атома примерно в 10⁵ раз больше размера ядра. Во сколько раз объём атома больше объёма ядра? Почему α-частицы чаще всего проходят сквозь фольгу?

Решение

Объём пропорционален кубу размера: (10⁵)³ = 10¹⁵ раз. Атом практически «пуст»: положительный заряд сосредоточен в ничтожной части объёма, поэтому α-частицы в основном проходят сквозь атом, а сильно отклоняются лишь те немногие, которые пролетают вблизи ядра.

← Квантовая физика и физика атомного ядра Единицы, погрешности и работа с графиками →