Е
11 мин чтенияпроизводнаякасательнаяэкстремумзадание 8задание 12

Производная и её приложения

Таблица производных, правила дифференцирования, касательная, экстремумы и наибольшее/наименьшее значение функции (задания 8 и 12).

Открываем тему…

Определение и геометрический смысл

Производная функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Геометрически f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке x₀, то есть тангенсу угла наклона касательной. Физически — мгновенная скорость изменения величины.

y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
Уравнение касательной в точке x₀.

Таблица и правила

(xn)′=nxn−1,(ex)′=ex,(ax)′=axln⁡a,(ln⁡x)′=1x(x^n)'=nx^{n-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a,\quad (\ln x)'=\frac1x
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tg⁡x)′=1cos⁡2x(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\operatorname{tg}x)'=\frac1{\cos^2x}
(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2,(f(g(x)))′=f′(g)⋅g′(x)(uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad (f(g(x)))'=f'(g)\cdot g'(x)
Произведение, частное, сложная функция.

Исследование функции

  1. Найдите область определения.
  2. Вычислите f′(x) и найдите критические точки (f′ = 0 или не существует).
  3. Определите знаки f′ на промежутках: «+» — возрастание, «−» — убывание.
  4. Смена знака с «+» на «−» — максимум, с «−» на «+» — минимум.
  5. Для наибольшего/наименьшего значения на отрезке сравните значения в критических точках внутри отрезка и на концах.
ПримерНаибольшее значение на отрезке
Найдите наибольшее значение функции y = x³ − 3x² − 9x + 1 на отрезке [−2; 4].
Решение
y′ = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1). Критические точки −1 и 3. y(−2) = −8 − 12 + 18 + 1 = −1; y(−1) = −1 − 3 + 9 + 1 = 6; y(3) = 27 − 27 − 27 + 1 = −26; y(4) = 64 − 48 − 36 + 1 = −19. Наибольшее значение 6.
ПримерКасательная и угловой коэффициент
Прямая y = 4x + 7 параллельна касательной к графику y = x² + 5x + 6. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Параллельность означает f′(x₀) = 4. f′ = 2x + 5, 2x + 5 = 4, x₀ = −0,5.
ПримерУравнение касательной
Составьте уравнение касательной к графику f(x) = x² − 3x + 1 в точке x₀ = 2.
Решение
f(2) = 4 − 6 + 1 = −1; f′(x) = 2x − 3, f′(2) = 1. Касательная: y = −1 + 1·(x − 2) = x − 3.
ПримерСложная функция
Найдите производную функции y = sin 3x + e²ˣ в точке x = 0.
Решение
y′ = 3cos 3x + 2e²ˣ. При x = 0: 3·1 + 2·1 = 5.
ПримерФизический смысл производной
Точка движется по закону s(t) = t³ − 3t² + 2t (метры, секунды). Найдите скорость в момент t = 3 с.
Решение
v(t) = s′(t) = 3t² − 6t + 2. v(3) = 27 − 18 + 2 = 11 м/с.
ПримерМинимум на промежутке без концов
Найдите наименьшее значение функции y = x + 9/x на промежутке (0; +∞).
Решение
y′ = 1 − 9/x² = (x² − 9)/x². На (0; +∞) критическая точка x = 3; слева от неё y′ < 0, справа y′ > 0, значит x = 3 — точка минимума, и это единственный экстремум на промежутке. y(3) = 3 + 3 = 6.
← НеравенстваФункции и графики →