Е
13 мин чтенияуравнениятригонометриялогарифмпоказательныезадание 6задание 13

Уравнения: тригонометрические, показательные, логарифмические

Методы решения: замена переменной, разложение на множители, ОДЗ, отбор корней на промежутке (задания 6 и 13).

Открываем тему…

Единая схема

  1. Найдите ОДЗ (знаменатель ≠ 0, под корнем ≥ 0, аргумент логарифма > 0, основание > 0 и ≠ 1).
  2. Приведите уравнение к простому виду: общее основание, одна функция, один угол.
  3. Введите замену переменной либо разложите на множители.
  4. Решите простейшие уравнения и вернитесь к исходной переменной.
  5. Проверьте корни по ОДЗ и, если нужно, отберите на заданном промежутке.

Тригонометрические уравнения

Интерактивная иллюстрация
sincos

cos = 0.707
sin = 0.707

Точка на единичной окружности — это (cos φ; sin φ). Полезно для тригонометрических уравнений.

Единичная окружность: sin — ордината, cos — абсцисса точки.
sin⁡x=a ⇒ x=(−1)narcsin⁡a+πn,cos⁡x=a ⇒ x=±arccos⁡a+2πn\sin x=a\ \Rightarrow\ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\qquad \cos x=a\ \Rightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi n
Простейшие уравнения, n ∈ ℤ, |a| ≤ 1.
tg⁡x=a ⇒ x=arctg⁡a+πn\operatorname{tg}x=a\ \Rightarrow\ x=\operatorname{arctg}a+\pi n
sin⁡2x+cos⁡2x=1,sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=1−2sin⁡2x\sin^2x+\cos^2x=1,\quad \sin2x=2\sin x\cos x,\quad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x
Основные тождества.
  • Однородное уравнение a·sin²x + b·sin x cos x + c·cos²x = 0 делим на cos²x и получаем квадратное по tg x.
  • Формулы приведения: sin(π/2 − x) = cos x, cos(π − x) = −cos x и т. д.
  • Уравнение a·sin x + b·cos x = c решают введением вспомогательного угла.
ПримерКвадратное относительно косинуса
Решите уравнение 2cos²x − 3cos x + 1 = 0 и найдите корни на [0; 2π].
Решение
Пусть t = cos x: 2t² − 3t + 1 = 0, t = 1 или t = 1/2. cos x = 1 → x = 2πn; cos x = 1/2 → x = ±π/3 + 2πn. На [0; 2π]: 0, π/3, 5π/3, 2π.

Показательные уравнения

Свойства степеней: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Если a > 0 и a ≠ 1, то из aᶠ = aᵍ следует f = g. Для уравнения вида 4ˣ − 5·2ˣ + 4 = 0 вводят t = 2ˣ > 0.

ПримерЗамена t = 2ˣ
Решите 4^x − 5·2^x + 4 = 0.
Решение
t = 2ˣ > 0: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4. Тогда x = 0 или x = 2.

Логарифмические уравнения

log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac,log⁡abk=klog⁡ab,log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac,\quad \log_a b^k=k\log_ab,\quad \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}
Свойства логарифма при b, c > 0, a > 0, a ≠ 1.
ПримерЛогарифм с проверкой ОДЗ
Решите log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.
Решение
ОДЗ: x > 1. log₂((x−1)(x+1)) = 3 ⇒ x² − 1 = 8 ⇒ x = ±3. С учётом ОДЗ x = 3.
ПримерОднородное тригонометрическое уравнение
Решите уравнение sin²x − 3sin x cos x + 2cos²x = 0.
Решение
cos x = 0 не является решением (иначе и sin x = 0, что невозможно). Делим на cos²x: tg²x − 3tg x + 2 = 0, tg x = 1 или tg x = 2. Ответ: x = π/4 + πn, x = arctg 2 + πn, n ∈ ℤ.

Иррациональные уравнения

Уравнение √f(x) = g(x) равносильно системе: f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0. Условие f(x) ≥ 0 выполняется автоматически, так как f = g². Если возводить в квадрат, обязательно проверяйте знак правой части.

ПримерКорень равен переменной
Решите уравнение √(x + 6) = x.
Решение
Система: x + 6 = x², x ≥ 0. x² − x − 6 = 0, x = 3 или x = −2. Условию x ≥ 0 удовлетворяет только x = 3. Проверка: √9 = 3. Ответ: 3.

Дополнительные приёмы

  • Метод оценки: если одна часть уравнения не меньше A, а другая не больше A, то равенство возможно только когда обе части равны A (например, |sin x| ≤ 1, x² + 4 ≥ 4, cos x ≤ 1).
  • Однородные показательные уравнения a·4ˣ + b·6ˣ + c·9ˣ = 0 делят на 9ˣ и вводят t = (2/3)ˣ.
  • Уравнения вида √f = √g равносильны системе f = g, f ≥ 0 (второе условие можно заменить на g ≥ 0).
  • Логарифмы с разными основаниями приводят к одному основанию: logₐ b = 1 / log_b a.
ПримерЛогарифмическое уравнение с заменой
Решите уравнение log₂²x − 3log₂x + 2 = 0.
Решение
ОДЗ: x > 0. Пусть t = log₂x: t² − 3t + 2 = 0, откуда t = 1 или t = 2. Значит x = 2¹ = 2 или x = 2² = 4. Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: 2; 4.
ПримерПоказательное уравнение: вынесение за скобки
Решите уравнение 2^(x+1) + 2^(x−1) = 5.
Решение
Выносим наименьшую степень: 2^(x−1)·(2² + 1) = 5, то есть 2^(x−1)·5 = 5, откуда 2^(x−1) = 1 и x − 1 = 0. Ответ: x = 1. Проверка: 2² + 2⁰ = 4 + 1 = 5.
ПримерМетод оценки
Решите уравнение cos x + cos 3x = 2.
Решение
Так как cos x ≤ 1 и cos 3x ≤ 1, равенство возможно лишь при cos x = 1 и cos 3x = 1 одновременно. Из cos x = 1 следует x = 2πn; тогда 3x = 6πn, cos 3x = 1 — верно. Ответ: x = 2πn, n ∈ ℤ.
← Вероятность и статистикаНеравенства →