Е
12 мин чтенияпланиметриятреугольникокружностьплощадьзадание 1задание 17

Планиметрия: треугольники, окружности, площади

Свойства треугольников, теоремы синусов и косинусов, вписанные углы и формулы площадей — база для заданий 1 и 17.

Открываем тему…

Треугольник: главные соотношения

Сумма углов треугольника равна 180°, внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Против большей стороны лежит больший угол. Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности.

  • Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
  • Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности; биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
  • Серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в центре описанной окружности.
  • Средняя линия параллельна основанию и равна его половине.

Прямоугольный треугольник

a2+b2=c2,sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tg⁡α=aba^2 + b^2 = c^2, \qquad \sin\alpha = \frac{a}{c},\quad \cos\alpha = \frac{b}{c},\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}
Теорема Пифагора и тригонометрия острого угла (a, b — катеты, c — гипотенуза).

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, а центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы. Радиус вписанной окружности: r = (a + b − c) / 2. Высота h к гипотенузе: h² = a₁·b₁, где a₁ и b₁ — проекции катетов на гипотенузу.

Произвольный треугольник

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
Теорема синусов (R — радиус описанной окружности).
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
Теорема косинусов: обобщение теоремы Пифагора.

Площади

S=12aha=12absin⁡C=abc4R=pr=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\frac12 ah_a=\frac12 ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Формулы площади треугольника, p — полупериметр.
  • Параллелограмм: S = a·h = a·b·sin α.
  • Ромб: S = d₁·d₂ / 2; трапеция: S = (a + b)/2 · h.
  • Круг: S = πR², длина окружности C = 2πR.
  • Равносторонний треугольник со стороной a: S = a²√3 / 4, h = a√3 / 2.

Окружность и углы

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги. Касательные, проведённые из одной точки, равны, а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

AM⋅MB=CM⋅MD,MA2=MB⋅MCAM\cdot MB = CM\cdot MD,\qquad MA^2 = MB\cdot MC
Хорды, пересекающиеся в точке M; касательная MA и секущая MBC.
  • Четырёхугольник вписан в окружность ⇔ сумма противоположных углов равна 180°.
  • Четырёхугольник описан около окружности ⇔ суммы противоположных сторон равны.
  • Площадь описанного многоугольника S = p·r.
ПримерРадиус описанной окружности
В треугольнике ABC сторона BC = 10, угол A = 30°. Найдите радиус описанной окружности.
Решение
По теореме синусов BC / sin A = 2R. Тогда 10 / 0,5 = 2R, значит 2R = 20 и R = 10.
ПримерПлощадь через две стороны и угол
Две стороны треугольника равны 8 и 5, угол между ними 150°. Найдите площадь.
Решение
S = ½·8·5·sin 150° = 20 · ½ = 10. Не забывайте: sin 150° = sin 30°.

Подобие треугольников

Треугольники подобны, если равны два угла (первый признак), либо пропорциональны две стороны и равен угол между ними (второй), либо пропорциональны три стороны (третий). У подобных фигур все линейные элементы (стороны, высоты, медианы, радиусы) относятся с коэффициентом k, площади — с коэффициентом k². Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник (теорема Фалеса и её следствия).

ПримерОтношение площадей подобных треугольников
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC, причём MN ∥ AC и BM : MA = 2 : 3. Площадь треугольника ABC равна 75. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
Треугольники MBN и ABC подобны (MN ∥ AC, угол B общий). BM : BA = 2 : (2 + 3) = 2/5, значит k = 2/5. Площади относятся как k² = 4/25. S(MBN) = 75 · 4/25 = 12.
ПримерРадиус вписанной окружности прямоугольного треугольника
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение
Гипотенуза c = √(36 + 64) = 10. Для прямоугольного треугольника r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2. Проверка через площадь: S = 24, p = 12, r = S/p = 2.
ПримерТеорема косинусов
В треугольнике две стороны равны 3 и 8, угол между ними 60°. Найдите третью сторону.
Решение
c² = 3² + 8² − 2·3·8·cos 60° = 9 + 64 − 48·½ = 49. Значит c = 7.
ПримерПересекающиеся хорды
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, AM = 4, MB = 9, CM = 3. Найдите MD.
Решение
AM · MB = CM · MD, то есть 4 · 9 = 3 · MD, откуда MD = 12.
Стереометрия: объёмы, сечения, углы →