Е
15 мин чтениятригонометрияформулы приведениятождествауравненияотбор корнейзадание 7задание 13

Тригонометрия: тождества, формулы приведения, уравнения

Значения на единичной окружности, основные тождества, формулы приведения и двойного угла, простейшие и сложные уравнения, введение новой переменной, отбор корней (задания 7 и 13).

Открываем тему…

Единичная окружность и табличные значения

Интерактивная иллюстрация
sincos

cos = 0.707
sin = 0.707

Точка на единичной окружности — это (cos φ; sin φ). Полезно для тригонометрических уравнений.

Точка на единичной окружности: абсцисса — cos α, ордината — sin α.
  • sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1.
  • cos — те же значения в обратном порядке: cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0.
  • tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3; ctg = 1 / tg.
  • Радианы: 180° = π, поэтому 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.
  • Знаки по четвертям: sin > 0 в I и II четвертях, cos > 0 в I и IV, tg > 0 в I и III.

Основные тождества и формулы

sin⁡2α+cos⁡2α=1,tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,1+tg⁡2α=1cos⁡2α\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}
Основное тригонометрическое тождество и его следствия.
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha
Формулы двойного угла.
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
Формулы сложения.
sin⁡2α=1−cos⁡2α2,cos⁡2α=1+cos⁡2α2\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}
Формулы понижения степени.

Формулы приведения

Формулы приведения выражают тригонометрические функции углов вида π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α через функции острого угла α. Не заучивайте таблицу — используйте два правила. 1) Если в аргументе есть π/2 или 3π/2 (вертикальный диаметр), функция меняется на «родственную» (sin ↔ cos, tg ↔ ctg); если π или 2π (горизонтальный диаметр) — название сохраняется. 2) Знак берётся по четверти, в которой лежит исходный угол, если считать α острым.

  • sin(π − α) = sin α; cos(π − α) = −cos α; tg(π − α) = −tg α.
  • sin(π + α) = −sin α; cos(π + α) = −cos α; tg(π + α) = tg α.
  • sin(π/2 − α) = cos α; cos(π/2 + α) = −sin α.
  • sin(3π/2 − α) = −cos α; cos(3π/2 + α) = sin α.
  • Чётность: cos(−α) = cos α; sin(−α) = −sin α; tg(−α) = −tg α. Период: sin и cos — 2π, tg — π.
ПримерВычисление по формулам приведения
Найдите значение выражения cos(2π/3) · tg(5π/4).
Решение
cos(2π/3) = cos(π − π/3) = −cos(π/3) = −1/2. tg(5π/4) = tg(π + π/4) = tg(π/4) = 1. Произведение равно −1/2.
ПримерКосинус двойного угла
Известно, что sin α = 0,6. Найдите cos 2α.
Решение
cos 2α = 1 − 2sin²α = 1 − 2·0,36 = 1 − 0,72 = 0,28. Знак cos α знать не нужно — формула содержит только sin²α.

Простейшие уравнения

cos⁡x=a⇒x=±arccos⁡a+2πn;sin⁡x=a⇒x=(−1)narcsin⁡a+πn;tg⁡x=a⇒x=arctg⁡a+πn\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n;\quad \sin x=a\Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n;\quad \operatorname{tg}x=a\Rightarrow x=\operatorname{arctg}a+\pi n
Общие формулы, n ∈ ℤ. При |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a корней не имеют.
  • Частные случаи: sin x = 0 ⇒ x = πn; sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn; sin x = −1 ⇒ x = −π/2 + 2πn.
  • cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; cos x = 1 ⇒ x = 2πn; cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn.
  • arcsin(−a) = −arcsin a; arccos(−a) = π − arccos a.
  • Серия «x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn» часто записывается как x = (−1)ⁿπ/6 + πn.
ПримерПростейшее уравнение
Решите уравнение 2cos x = √3.
Решение
cos x = √3/2, откуда x = ±π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

Методы решения сложных уравнений

  1. Разложение на множители: перенесите всё в одну часть, вынесите общий множитель (никогда не сокращайте на выражение с неизвестным — потеряете корни).
  2. Замена переменной: приведите уравнение к одной функции одного угла (через sin²x + cos²x = 1, формулы двойного угла), положите t = sin x или t = cos x, помня, что |t| ≤ 1.
  3. Однородные уравнения: a·sin²x + b·sin x cos x + c·cos²x = 0 делятся на cos²x (проверьте, что cos x = 0 не корень).
  4. Вспомогательный угол: a sin x + b cos x = √(a² + b²)·sin(x + φ), где cos φ = a/√(a²+b²), sin φ = b/√(a²+b²).
  5. Сумма и разность одноимённых функций преобразуются в произведение: sin x + sin 3x = 2 sin 2x cos x.
ПримерРазложение на множители
Решите уравнение sin 2x = sin x.
Решение
2sin x cos x − sin x = 0 ⇒ sin x (2cos x − 1) = 0. Если sin x = 0, то x = πn; если cos x = 1/2, то x = ±π/3 + 2πn. Ответ: πn; ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.
ПримерВведение новой переменной
Решите уравнение cos 2x + 3sin x − 2 = 0.
Решение
cos 2x = 1 − 2sin²x: 1 − 2sin²x + 3sin x − 2 = 0 ⇒ 2sin²x − 3sin x + 1 = 0. Пусть t = sin x: t = 1 или t = 1/2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn; sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. Проверка при x = π/2: cos π + 3 − 2 = −1 + 1 = 0.
ПримерВспомогательный угол
Решите уравнение √3·sin x + cos x = 1.
Решение
√(3 + 1) = 2: √3 sin x + cos x = 2(√3/2 · sin x + 1/2 · cos x) = 2 sin(x + π/6). Тогда sin(x + π/6) = 1/2 ⇒ x + π/6 = π/6 + 2πn или x + π/6 = 5π/6 + 2πn. Ответ: x = 2πn; x = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ. Проверка: при x = 2π/3: √3·√3/2 − 1/2 = 3/2 − 1/2 = 1.
ПримерУравнение с дробью: учёт ОДЗ
Решите уравнение (2cos x − √3)/(2sin x − 1) = 0.
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет. 2cos x = √3 ⇒ x = π/6 + 2πn или x = −π/6 + 2πn. Условие 2sin x ≠ 1: при x = π/6 синус равен 1/2 — этот корень посторонний; при x = −π/6 синус равен −1/2 — подходит. Ответ: x = −π/6 + 2πn.

Отбор корней на промежутке

Три надёжных способа: 1) числовая окружность — отметьте концы промежутка и точки серии; 2) двойное неравенство — подставьте серию в a ≤ x ≤ b и найдите целые n; 3) перебор нескольких значений n и сравнение с границами (переведите π в приближённое значение 3,14 для оценки). Обязательно проверьте каждую серию отдельно.

ПримерОтбор корней двойным неравенством
а) Решите уравнение sin 2x = √2·cos x. б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [−π; π].
Решение
а) 2sin x cos x − √2 cos x = 0 ⇒ cos x (2sin x − √2) = 0. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; sin x = √2/2 ⇒ x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn. б) Серия π/2 + πn: −π ≤ π/2 + πn ≤ π ⇒ −3/2 ≤ n ≤ 1/2 ⇒ n = −1, 0: x = −π/2, π/2. Серия π/4 + 2πn: −π ≤ π/4 + 2πn ≤ π ⇒ −5/8 ≤ n ≤ 3/8 ⇒ n = 0: x = π/4. Серия 3π/4 + 2πn: −7/8 ≤ n ≤ 1/8 ⇒ n = 0: x = 3π/4. Ответ б): −π/2, π/4, π/2, 3π/4.
← Текстовые задачи, проценты и экономикаЗадачи с параметром →