Е
11 мин чтениястереометрияобъёмсечениепризмапирамидазадание 3задание 14

Стереометрия: объёмы, сечения, углы

Объёмы и площади поверхностей основных тел, построение сечений и вычисление углов и расстояний (задания 3 и 14).

Открываем тему…

Основные тела и их объёмы

Vprism=Sbase⋅h,Vpyr=13Sbase⋅hV_{\mathrm{prism}} = S_{\mathrm{base}}\cdot h,\qquad V_{\mathrm{pyr}}=\frac13 S_{\mathrm{base}}\cdot h
Призма и пирамида (h — высота).
Vcyl=πR2h,Vcone=13πR2h,Vball=43πR3V_{\mathrm{cyl}}=\pi R^2 h,\qquad V_{\mathrm{cone}}=\frac13\pi R^2 h,\qquad V_{\mathrm{ball}}=\frac43\pi R^3
Цилиндр, конус, шар.
Scyl,lat=2πRh,Scone,lat=πRl,Ssph=4πR2S_{\mathrm{cyl,lat}} = 2\pi R h,\quad S_{\mathrm{cone,lat}}=\pi R l,\quad S_{\mathrm{sph}}=4\pi R^2
Площади поверхностей (l — образующая конуса).
  • Куб с ребром a: диагональ d = a√3, V = a³, S = 6a².
  • Прямоугольный параллелепипед: d² = a² + b² + c².
  • Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, вершина проектируется в его центр; боковые рёбра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
  • При подобии тел с коэффициентом k площади относятся как k², объёмы — как k³.
ПримерОбъём при изменении размеров
Как изменится объём конуса, если радиус основания увеличить в 3 раза, а высоту уменьшить в 9 раз?
Решение
V = (1/3)πR²h. Радиус входит в квадрате: ×9; высота: ÷9. Итого V не изменится.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах: наклонная перпендикулярна прямой в плоскости тогда и только тогда, когда её проекция перпендикулярна этой прямой. Именно она позволяет находить углы между гранями и расстояния до рёбер.

  • Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость.
  • Угол между плоскостями измеряют линейным углом двугранного угла: проводят в каждой грани перпендикуляр к ребру.
  • Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра; удобно находить через объём: h = 3V / S.
  • Скрещивающиеся прямые: угол и расстояние между ними находят параллельным переносом или методом координат.

Сечения

Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, сторонами которого являются отрезки пересечения плоскости с гранями. Плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым — это главный приём построения. Если известны следы на двух гранях, находят точку пересечения секущей плоскости с продолжением ребра (метод следов).

  1. Найдите две точки секущей плоскости, лежащие в одной грани, — соедините их.
  2. Используйте параллельность граней: проведите в параллельной грани прямую, параллельную уже построенной.
  3. Если точки не лежат в одной грани, продлите прямые до пересечения с плоскостью основания (след плоскости).
  4. Достройте многоугольник, последовательно находя точки на рёбрах.

Типовые вычисления: образцы решений

ПримерОбъём правильной четырёхугольной пирамиды
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, боковое ребро равно √34. Найдите объём.
Решение
Основание — квадрат, его диагональ 6√2, половина диагонали 3√2. Высота: h² = (√34)² − (3√2)² = 34 − 18 = 16, h = 4. V = ⅓ · 6² · 4 = ⅓ · 36 · 4 = 48.
ПримерШар, вписанный в куб
Шар вписан в куб с ребром 6. Найдите отношение объёма шара к π.
Решение
Диаметр вписанного шара равен ребру куба, поэтому R = 3. V = (4/3)πR³ = (4/3)π·27 = 36π. Ответ: 36.
ПримерКонус: образующая и высота
Образующая конуса равна 10, высота равна 8. Найдите объём, делённый на π, и площадь боковой поверхности, делённую на π.
Решение
Осевое сечение даёт прямоугольный треугольник: R = √(10² − 8²) = 6. V = ⅓πR²h = ⅓π·36·8 = 96π, поэтому V/π = 96. S_бок = πRl = π·6·10 = 60π, S/π = 60.
ПримерУгол между диагональю куба и плоскостью основания
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите синус угла между диагональю AC₁ и плоскостью основания ABCD.
Решение
Пусть ребро равно a. Проекция AC₁ на плоскость основания — диагональ AC = a√2. Диагональ куба AC₁ = a√3. Угол φ между AC₁ и плоскостью — это угол C₁AC в прямоугольном треугольнике ACC₁: sin φ = CC₁ / AC₁ = a / (a√3) = 1/√3 = √3/3.

Расстояния, проекции и вписанные тела

Sproj=Scos⁡φ,rins=3VSfull,Rbox=a2+b2+c22S_{\mathrm{proj}} = S\cos\varphi,\qquad r_{\mathrm{ins}} = \frac{3V}{S_{\mathrm{full}}},\qquad R_{\mathrm{box}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}
Площадь проекции многоугольника (φ — угол между плоскостями); радиус шара, вписанного в многогранник; радиус шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда.
  • Шар вписан в многогранник, если касается всех его граней; его центр равноудалён от граней и лежит на биссекторных плоскостях двугранных углов.
  • Шар описан около многогранника, если проходит через все вершины; центр шара равноудалён от вершин. У правильной пирамиды он лежит на высоте.
  • Площадь сечения можно искать так: S_сеч = S_проекции / cos φ, где φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.
  • Объём тела можно вычислять разными способами — сравнение двух выражений для одного объёма даёт расстояние до плоскости.
ПримерРасстояние от вершины куба до плоскости через объём
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BD.
Решение
Рассмотрим тетраэдр AA₁BD: рёбра AA₁, AB, AD взаимно перпендикулярны и равны 6, поэтому V = ⅓ · (½ · 6 · 6) · 6 = 36. Грань A₁BD — равносторонний треугольник со стороной A₁B = 6√2: S = (6√2)² · √3 / 4 = 18√3. Расстояние от A до плоскости A₁BD равно h = 3V / S = 108 / (18√3) = 6/√3 = 2√3. Проверка: диагональ куба AC₁ = 6√3 перпендикулярна плоскости A₁BD и делится ею в отношении 1 : 2, поэтому h = AC₁ / 3 = 2√3.
← Планиметрия: треугольники, окружности, площадиВекторы и координаты →