Е
9 мин чтениянеравенстваметод интерваловлогарифмзадание 15

Неравенства

Метод интервалов, рациональные, показательные и логарифмические неравенства, системы и метод рационализации (задание 15).

Открываем тему…

Метод интервалов

Приведите неравенство к виду f(x) ∨ 0, разложите f на множители и найдите нули числителя и знаменателя. Отметьте их на числовой оси, определите знак на одном из промежутков и чередуйте знаки при переходе через корни нечётной кратности. Через корни чётной кратности знак не меняется.

  • Нули знаменателя всегда выколоты.
  • Нули числителя закрашены при нестрогом знаке.
  • Изолированные точки (корни чётной кратности при ≥ 0 или ≤ 0) нужно не потерять в ответе.
ПримерДробно-рациональное неравенство
Решите (x − 2)(x + 3) / (x − 5) ≤ 0.
Решение
Нули: −3, 2 (закрашены), 5 (выколот). Знаки справа налево: +, −, +, −. Решение: x ≤ −3 или 2 ≤ x < 5.

Показательные и логарифмические неравенства

Если основание больше 1, знак неравенства сохраняется при переходе от aᶠ < aᵍ к f < g; если основание между 0 и 1, знак меняется на противоположный. То же правило для логарифмов, плюс обязательно ОДЗ.

log⁡h(x)f(x)∨log⁡h(x)g(x) ⟺ (h(x)−1)(f(x)−g(x))∨0\log_{h(x)}f(x)\vee\log_{h(x)}g(x)\ \Longleftrightarrow\ (h(x)-1)(f(x)-g(x))\vee0
Метод рационализации (при условии ОДЗ).
ПримерЛогарифмическое неравенство
Решите log₀,₅(2x − 1) > −2.
Решение
Основание меньше 1, знак меняется: 0 < 2x − 1 < (0,5)^(−2) = 4. Откуда 1/2 < x < 5/2.

Дроби, модули и логарифмы с квадратным аргументом

Дробное неравенство нельзя «умножать на знаменатель»: его знак неизвестен. Переносите всё в одну сторону и приводите к общему знаменателю. Неравенство с модулем |f| ≤ a равносильно двойному −a ≤ f ≤ a, а |f| ≥ a — совокупности f ≤ −a или f ≥ a.

ПримерПеренос и общий знаменатель
Решите неравенство (x + 1)/(x − 2) ≥ 2.
Решение
(x + 1)/(x − 2) − 2 ≥ 0 ⇒ (x + 1 − 2x + 4)/(x − 2) ≥ 0 ⇒ (5 − x)/(x − 2) ≥ 0 ⇒ (x − 5)/(x − 2) ≤ 0. Нули: 2 (выколот), 5 (закрашен). Ответ: 2 < x ≤ 5.
ПримерНеравенство с модулем
Решите неравенство |2x − 1| ≤ 3.
Решение
−3 ≤ 2x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 4 ⇒ −1 ≤ x ≤ 2. Ответ: [−1; 2].
ПримерЛогарифм с квадратным трёхчленом
Решите неравенство log₂(x² − 3x) ≤ 2.
Решение
Основание 2 > 1, знак сохраняется: 0 < x² − 3x ≤ 4. Условие x² − 3x > 0 даёт x < 0 или x > 3. Условие x² − 3x − 4 ≤ 0 даёт −1 ≤ x ≤ 4. Пересечение: [−1; 0) ∪ (3; 4].

Равносильные переходы: шпаргалка

∣f∣≤a⇔−a≤f≤a,∣f∣≥a⇔[f≤−af≥a,∣f∣<∣g∣⇔(f−g)(f+g)<0|f|\le a\Leftrightarrow -a\le f\le a,\qquad |f|\ge a\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f\le -a\\ f\ge a\end{array}\right.,\qquad |f|<|g|\Leftrightarrow (f-g)(f+g)<0
Неравенства с модулем (a > 0).
log⁡af∨log⁡ag ⇔ {f>0, g>0,(a−1)(f−g)∨0,af∨ag ⇔ (a−1)(f−g)∨0\log_a f\vee\log_a g\ \Leftrightarrow\ \begin{cases} f>0,\ g>0,\\ (a-1)(f-g)\vee0\end{cases},\qquad a^f\vee a^g\ \Leftrightarrow\ (a-1)(f-g)\vee0
Рационализация для постоянного основания (a > 0, a ≠ 1); знак ∨ — любой из <, >, ≤, ≥.
  • Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 при a > 0 и D < 0 верно при всех x; при D = 0 — при всех x, кроме x = −b/(2a).
  • Неравенство √f < g равносильно системе f ≥ 0, g > 0, f < g²; неравенство √f > g — совокупности (g < 0, f ≥ 0) или (g ≥ 0, f > g²).
  • При решении системы неравенств решения каждого неравенства наносят на одну числовую прямую и берут пересечение, а для совокупности — объединение.
ПримерПоказательное неравенство с заменой
Решите неравенство 4ˣ − 3·2ˣ − 4 < 0.
Решение
Пусть t = 2ˣ > 0: t² − 3t − 4 < 0, то есть (t − 4)(t + 1) < 0, откуда −1 < t < 4. С учётом t > 0 получаем 0 < 2ˣ < 4 = 2², то есть x < 2. Ответ: (−∞; 2).
ПримерПеременное основание логарифма
Решите неравенство logₓ(3x − 2) ≥ 1.
Решение
ОДЗ: x > 0, x ≠ 1, 3x − 2 > 0, то есть x > 2/3 и x ≠ 1. Запишем 1 = logₓ x и применим рационализацию: (x − 1)((3x − 2) − x) ≥ 0, то есть (x − 1)(2x − 2) = 2(x − 1)² ≥ 0 — верно всегда. Значит, решение совпадает с ОДЗ: (2/3; 1) ∪ (1; +∞). Проверка: при x = 0,8 имеем log₀,₈ 0,4 ≈ 4,1 ≥ 1; при x = 2 имеем log₂ 4 = 2 ≥ 1.
← Уравнения: тригонометрические, показательные, логарифмическиеПроизводная и её приложения →