Е
12 мин чтениятеория чиселделимостьостаткицифрыоценка и примерзадание 19

Числа и их свойства: делимость, цифры, оценки

Делимость и остатки, НОД и НОК, десятичная запись числа, среднее арифметическое, метод «оценка + пример» для задания 19.

Открываем тему…

Структура задания 19

Задание 19 состоит из трёх пунктов возрастающей сложности (максимум 4 балла). Пункт а) обычно требует привести пример или показать, что ситуация невозможна; пункт б) — другой, более жёсткий пример или доказательство; пункт в) — найти наибольшее или наименьшее значение. В пункте в) всегда нужны две части: оценка (доказательство, что большего/меньшего быть не может) и пример, на котором оценка достигается. Не решив в), всё равно решайте а) и б) — это даёт баллы.

Делимость и остатки

  • Признаки: на 2 — последняя цифра чётная; на 3 и на 9 — сумма цифр делится на 3 и на 9; на 4 — две последние цифры образуют число, кратное 4; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 8 — три последние цифры; на 11 — разность сумм цифр на чётных и нечётных местах кратна 11.
  • Любое целое число при делении на m даёт остаток 0, 1, …, m − 1; число вида n = mq + r.
  • Квадрат целого числа при делении на 3 даёт остаток 0 или 1; при делении на 4 — остаток 0 или 1; при делении на 5 — 0, 1 или 4.
  • Среди k подряд идущих чисел ровно одно кратно k; произведение двух подряд идущих чисел чётно, трёх — делится на 6.
  • Если a делится на m и b делится на m, то a ± b делится на m; если a·b делится на простое p, то a или b делится на p.
gcd⁡(a,b)⋅lcm⁡(a,b)=a⋅b\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=a\cdot b
Связь НОД и НОК двух натуральных чисел.
ПримерДоказательство делимости
Докажите, что при любом натуральном n число n³ − n делится на 6.
Решение
n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)·n·(n + 1) — произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди них есть чётное, значит произведение делится на 2, и есть кратное 3, значит оно делится на 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, произведение делится на 6.
ПримерСистема остатков
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 2, а при делении на 7 — остаток 3. Опишите все такие числа.
Решение
Числа с остатком 3 при делении на 7: 3, 10, 17, 24, … Проверяем остаток при делении на 5: 3 → 3, 10 → 0, 17 → 2. Наименьшее N = 17. Периодичность — НОК(5; 7) = 35, поэтому все решения: N = 17 + 35k, k ≥ 0.
ПримерНОД, НОК и пары чисел
Найдите все пары натуральных чисел с НОД, равным 6, и НОК, равным 72.
Решение
Пусть a = 6x, b = 6y, где НОД(x; y) = 1. Тогда НОК = 6xy = 72, xy = 12. Взаимно простые пары: (1; 12) и (3; 4) (пара (2; 6) не годится — НОД равен 2). Получаем числа (6; 72) и (18; 24) (и те же пары в другом порядке).

Десятичная запись числа

Двузначное число с цифрами a и b записывают как 10a + b, трёхзначное с цифрами a, b, c — как 100a + 10b + c, где первая цифра от 1 до 9, остальные от 0 до 9. Условие задачи превращается в уравнение с целыми неизвестными; ограничения на цифры позволяют перебрать случаи или получить оценку.

ПримерЧисло и сумма его цифр
Найдите все двузначные числа, которые в 4 раза больше суммы своих цифр.
Решение
10a + b = 4(a + b) ⇒ 6a = 3b ⇒ b = 2a. Так как b ≤ 9, a = 1, 2, 3, 4. Числа: 12, 24, 36, 48. Проверка: 12 = 4·3, 24 = 4·6, 36 = 4·9, 48 = 4·12.

Оценка и пример

Схема: чтобы показать, что наибольшее значение величины равно M, нужно (1) доказать неравенство «величина ≤ M» для любой допустимой конфигурации и (2) предъявить конкретную конфигурацию, где достигается равенство. Оценка почти всегда строится от «крайнего» варианта: чтобы одно число было как можно больше, остальные должны быть как можно меньше (с учётом условий различности, чётности и т. п.).

ПримерНаибольшее число в наборе
Сумма пяти различных натуральных чисел равна 20. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее из них?
Решение
Пусть M — наибольшее число. Остальные четыре различные натуральные числа не меньше 1, 2, 3, 4 соответственно, их сумма не меньше 10. Тогда M ≤ 20 − 10 = 10. Пример: 1, 2, 3, 4, 10 (сумма 20). Ответ: 10.
ПримерСреднее арифметическое и оценка
На доске написаны 10 различных натуральных чисел, их среднее арифметическое равно 7. Какое наибольшее число может быть на доске?
Решение
Сумма всех чисел 10·7 = 70. Девять остальных чисел различны, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 9 = 45. Значит наибольшее число M ≤ 70 − 45 = 25. Пример: 1, 2, …, 9 и 25. Ответ: 25.
ПримерДоказательство невозможности через чётность
Можно ли разбить числа от 1 до 10 на две группы с одинаковыми суммами?
Решение
Сумма всех чисел 1 + 2 + … + 10 = 55 — нечётна, а две равные суммы дали бы чётное число 2S. Значит, разбить нельзя. (Для чисел от 1 до 8 разбиение возможно: сумма 36, например {3; 7; 8} и {1; 2; 4; 5; 6}, в каждой группе по 18.)
ПримерНахождение примера по условию делимости
Приведите пример пяти различных натуральных чисел, сумма которых равна 40 и каждое из которых делится на 5, или докажите, что такого набора нет.
Решение
Числа вида 5k, где k различны. Сумма равна 5(k₁ + … + k₅) = 40, значит k₁ + … + k₅ = 8. Минимальная сумма пяти различных натуральных k равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 8. Такого набора не существует.

Признаки делимости и полезные формулы

gcd⁡(a,b)⋅lcm⁡(a,b)=a⋅b,abc‾=100a+10b+c,Sn=a1+an2 n\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=a\cdot b,\qquad \overline{abc}=100a+10b+c,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\,n
Связь НОД и НОК, запись числа по цифрам, сумма арифметической прогрессии.
  • На 3 и на 9 число делится тогда и только тогда, когда на 3 (соответственно 9) делится сумма его цифр.
  • На 11 делится число, у которого знакопеременная сумма цифр (справа налево: +, −, +, …) делится на 11.
  • Число делится на 4, если на 4 делится число из двух последних цифр; на 8 — если на 8 делится число из трёх последних цифр.
  • Квадрат целого числа при делении на 4 даёт остаток 0 или 1, при делении на 3 — остаток 0 или 1, при делении на 5 — 0, 1 или 4.
  • Из n последовательных целых чисел одно обязательно делится на n; произведение двух последовательных чисел чётно.
ПримерПризнак делимости на 11
При какой цифре x число 3x47 делится на 11?
Решение
Знакопеременная сумма цифр справа налево: 7 − 4 + x − 3 = x. Число делится на 11, если x кратно 11; цифра от 0 до 9 — только x = 0. Проверка: 3047 = 11 · 277.
← Задачи с параметромПоследовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии →