8 мин чтениятекстовые задачипроцентыкредитдвижениеработаэкономиказадание 10задание 16

Текстовые задачи, проценты и экономика

Задачи на движение, работу, смеси, проценты и кредиты: текстовые задачи первой части и экономическая задача второй.

Открываем тему…

Модель «величина = скорость × время»

S=v\cdot t,\qquad A=p\cdot t,\qquad m=\rho V

Путь, работа, масса — три формы одной и той же схемы.

Встречное движение: скорости складываются; вдогонку — вычитаются.
По течению: v + u, против течения: v − u, где u — скорость течения.
Совместная работа: производительности складываются; если A = 1, то время t = 1 / (p₁ + p₂).
Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время (а не среднее арифметическое скоростей).

ПримерСредняя скорость

Путь туда — со скоростью 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.

Решение

Пусть расстояние s. Время s/60 + s/40 = s·(2+3)/120 = s/24. Средняя скорость 2s / (s/24) = 48 км/ч.

Проценты и сложные проценты

S_n=S_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n

Рост вклада с капитализацией; при убывании — (1 − p/100).

В задачах про кредит удобно рассуждать по годам: после начисления процентов долг умножается на коэффициент k = 1 + r/100, затем вычитается платёж. В схеме с равными платежами составьте уравнение «долг после последнего платежа равен нулю». В схеме с дифференцированными платежами долг уменьшается равными долями, а проценты начисляются на остаток.

ПримерАннуитетный кредит на два года

Кредит 1 000 000 ₽ под 10 % годовых погашают двумя равными платежами x в конце каждого года. Найдите x.

Решение

После первого года: 1 100 000 − x. После второго: (1 100 000 − x)·1,1 − x = 0. 1 210 000 − 1,1x − x = 0, x = 1 210 000 / 2,1 ≈ 576 190 ₽.

ПримерВклад со сложными процентами

Вклад 100 000 ₽ размещён на 3 года под 10 % годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет на счёте?

Решение

S = 100 000 · 1,1³ = 100 000 · 1,331 = 133 100 ₽.

ПримерСмеси и растворы

Смешали 3 кг 20-процентного и 2 кг 45-процентного раствора соли. Найдите концентрацию смеси.

Решение

Масса соли: 0,2·3 + 0,45·2 = 0,6 + 0,9 = 1,5 кг. Масса смеси 5 кг. Концентрация 1,5/5 = 0,3 = 30 %.

ПримерДифференцированные платежи

Кредит 600 000 ₽ на 3 года под 20 % годовых. Каждый год основной долг уменьшается на одну и ту же сумму, проценты начисляются на остаток долга. Найдите общую сумму выплат.

Решение

Долг уменьшается на 600 000 : 3 = 200 000 в год. Проценты за годы: 0,2·600 000 = 120 000; 0,2·400 000 = 80 000; 0,2·200 000 = 40 000. Сумма процентов 240 000. Всего выплат 600 000 + 240 000 = 840 000 ₽.

ПримерЦена после повышения и скидки

Цену товара повысили на 25 %, а затем снизили на 20 %. Как изменилась цена?

Решение

Коэффициенты: 1,25 · 0,8 = 1. Цена вернулась к исходной, изменения нет.

Рабочие формулы и типовые модели

C=\frac{m_{\mathrm{substance}}}{m_{\mathrm{mix}}}\cdot100\%,\qquad v_{\mathrm{avg}}=\frac{S_{\mathrm{total}}}{t_{\mathrm{total}}},\qquad t=\frac{A}{p_1+p_2}

Концентрация смеси, средняя скорость, время совместной работы.

Процент от числа: p % от A равно A·p/100; «на p % больше» — умножение на 1 + p/100, «на p % меньше» — на 1 − p/100.
Если величина изменилась на p % и затем на q %, итоговый коэффициент равен (1 + p/100)(1 + q/100); складывать проценты нельзя.
Для движения по реке используйте две скорости: v + u (по течению) и v − u (против); время на плоту равно времени движения течения.
Для задач на сплавы и растворы составляйте два уравнения: баланс по массе и баланс по веществу.

ПримерДвижение навстречу

Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение

Скорость сближения 60 + 80 = 140 км/ч. Время встречи t = 420 / 140 = 3 ч.

ПримерДве бригады

Первая бригада выполняет заказ за 12 часов, вторая — за 6 часов. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?

Решение

Производительности: 1/12 и 1/6 заказа в час. Вместе 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4. Время t = 1 : (1/4) = 4 ч.

← Функции и графики Тригонометрия: тождества, формулы приведения, уравнения →