Е
10 мин чтениявероятностьстатистикакомбинаториказадание 4задание 5

Вероятность и статистика

Классическая вероятность, правила сложения и умножения, формула Бернулли, условная вероятность, среднее и медиана (задания 4 и 5).

Открываем тему…

Классическое определение

P(A)=mnP(A)=\frac{m}{n}
n — число равновозможных исходов, m — число благоприятных.

Вероятность любого события лежит в промежутке от 0 до 1. Достоверное событие имеет вероятность 1, невозможное — 0. Сумма вероятностей события и противоположного ему равна 1, поэтому «хотя бы один» часто проще искать через противоположное событие.

Правила сложения и умножения

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
Для несовместных событий последнее слагаемое равно нулю.
P(A∩B)=P(A)⋅P(B) (indep.),P(A∩B)=P(A) P(B∣A)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\ \mathrm{(indep.)},\qquad P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)
Умножение вероятностей.

Формула Бернулли и биномиальная схема

Pn(k)=Cnk pk(1−p)n−k,Cnk=n!k!(n−k)!P_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k},\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях.
  • Число перестановок из n элементов: n!.
  • Размещения (порядок важен): A_n^k = n!/(n−k)!.
  • Сочетания (порядок не важен): C_n^k.
  • Полная вероятность: P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A | Hᵢ) — события разбиваются на гипотезы.
ПримерХотя бы одно попадание
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6. Он делает 3 независимых выстрела. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.
Решение
Противоположное событие — три промаха: 0,4³ = 0,064. Искомая вероятность 1 − 0,064 = 0,936.
ПримерПолная вероятность
Первый завод выпускает 70 % деталей с браком 2 %, второй — 30 % с браком 5 %. Какова вероятность, что случайная деталь бракованная?
Решение
P = 0,7·0,02 + 0,3·0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029.
ПримерФормула Бернулли
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что из трёх выстрелов будет ровно два попадания.
Решение
P₃(2) = C₃² · 0,7² · 0,3 = 3 · 0,49 · 0,3 = 0,441.
ПримерКомбинаторный подсчёт
В группе 10 студентов, среди них Иван. Для дежурства случайно выбирают троих. Найдите вероятность того, что Иван будет выбран.
Решение
Всего способов: C₁₀³ = 120. Благоприятных (Иван + двое из остальных девяти): C₉² = 36. P = 36/120 = 0,3. Проверка: Иван попадает в тройку с вероятностью 3/10.
ПримерДва игральных кубика
Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков не меньше 10.
Решение
Всего 36 упорядоченных пар. Сумма 10: (4;6), (5;5), (6;4) — 3 исхода; сумма 11: (5;6), (6;5) — 2; сумма 12: (6;6) — 1. Итого 6 исходов, P = 6/36 = 1/6 ≈ 0,17.

Элементы статистики

  • Среднее арифметическое — сумма значений, делённая на их число.
  • Медиана — серединное значение упорядоченного ряда (при чётном числе — среднее двух центральных).
  • Мода — наиболее часто встречающееся значение.
  • Размах — разность максимума и минимума.

Условная вероятность и формула Байеса

P(B∣A)=P(A∩B)P(A),P(Hk∣A)=P(Hk) P(A∣Hk)∑iP(Hi) P(A∣Hi)P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(H_k\mid A)=\frac{P(H_k)\,P(A\mid H_k)}{\sum_i P(H_i)\,P(A\mid H_i)}
Условная вероятность и формула Байеса (H₁, H₂, … — полная группа гипотез).

Формула Байеса отвечает на «обратный» вопрос: событие A уже произошло, какова вероятность, что причиной была гипотеза Hₖ? Числитель — «вклад» этой гипотезы в событие A, знаменатель — полная вероятность A. Если условие сужает множество исходов («известно, что…»), проще всего перечислить оставшиеся исходы и посчитать долю благоприятных среди них.

ПримерОбратная вероятность (формула Байеса)
Завод A выпускает 40 % деталей с браком 3 %, завод B — 60 % деталей с браком 1 %. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что её изготовил завод A.
Решение
P(брак) = 0,4·0,03 + 0,6·0,01 = 0,012 + 0,006 = 0,018. P(A | брак) = 0,012 / 0,018 = 2/3 ≈ 0,67 (ответ округляют так, как указано в условии).
← Векторы и координатыУравнения: тригонометрические, показательные, логарифмические →