Е
9 мин чтениявекторыкоординатыскалярное произведениезадание 2задание 14

Векторы и координаты

Операции над векторами, скалярное произведение, уравнения прямой, плоскости, расстояния и углы в координатах.

Открываем тему…

Вектор и действия над ним

Вектор задаётся длиной и направлением. Если A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), то вектор AB имеет координаты (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Векторы складывают и вычитают покоординатно, умножение на число умножает каждую координату.

Интерактивная иллюстрация

A + B = (4; 4). Пунктир — сумма векторов.

Сложение векторов по правилу треугольника и параллелограмма.
∣a⃗∣=x2+y2+z2,M(x1+x22;y1+y22;z1+z22)|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right)
Длина вектора и координаты середины отрезка.

Скалярное произведение

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ=x1x2+y1y2+z1z2\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b|\cos\varphi = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
Два эквивалентных определения.
cos⁡φ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22\cos\varphi=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}
Угол между векторами. Векторы перпендикулярны ⇔ скалярное произведение равно 0.
  • Коллинеарные векторы: координаты пропорциональны.
  • Угол между прямыми — это острый угол, поэтому в формуле берут модуль косинуса.
  • Угол между прямой и плоскостью: sin φ = |cos(направляющий вектор, нормаль)|.
  • Угол между плоскостями — угол между их нормалями (или смежный с ним).

Метод координат в стереометрии

Расположите начало координат в вершине прямого угла, оси направьте вдоль рёбер. Запишите координаты всех нужных точек, найдите направляющие векторы прямых и нормали плоскостей. Уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0, вектор (a; b; c) — её нормаль.

ρ(M,α)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\rho(M,\alpha)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
Расстояние от точки M(x₀; y₀; z₀) до плоскости.
ПримерУгол между векторами
Найдите косинус угла между векторами a(1; 2; 2) и b(2; −1; 2).
Решение
a·b = 2 − 2 + 4 = 4. |a| = 3, |b| = 3. cos φ = 4 / 9.
ПримерУравнение плоскости
Составьте уравнение плоскости через точки A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).
Решение
Плоскость в отрезках: x/1 + y/2 + z/3 = 1. Умножаем на 6: 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
ПримерПерпендикулярность векторов
При каком k векторы a(2; −3; k) и b(1; 4; 2) перпендикулярны?
Решение
Условие перпендикулярности: a·b = 0. 2·1 + (−3)·4 + k·2 = 2 − 12 + 2k = 0, откуда k = 5.
ПримерДлина отрезка и середина
Даны точки A(1; 2; 3) и B(5; −2; 7). Найдите длину AB и координаты середины отрезка.
Решение
Вектор AB = (4; −4; 4), |AB| = √(16 + 16 + 16) = 4√3. Середина: ((1 + 5)/2; (2 − 2)/2; (3 + 7)/2) = (3; 0; 5).
ПримерРасстояние от точки до плоскости
Найдите расстояние от точки M(3; 1; 2) до плоскости 2x + y − 2z + 6 = 0.
Решение
ρ = |2·3 + 1 − 2·2 + 6| / √(4 + 1 + 4) = |6 + 1 − 4 + 6| / 3 = 9/3 = 3.
ПримерУгол между скрещивающимися рёбрами куба
В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.
Решение
Введём A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A₁(0;0;1); тогда B₁(1;0;1), C₁(1;1;1). AB₁ = (1; 0; 1), BC₁ = (0; 1; 1). Скалярное произведение 0 + 0 + 1 = 1, длины √2 и √2. cos φ = |1| / (√2·√2) = 1/2, угол 60°.
← Стереометрия: объёмы, сечения, углыВероятность и статистика →