10 мин чтенияграфикпроизводнаяэкстремумкасательнаямонотонностьзадание 8задание 11задание 12

Чтение графиков функций и производной

Как по графику функции и графику производной находить промежутки монотонности, экстремумы, значения, угловой коэффициент касательной и число решений (задания 8, 11, 12).

Открываем тему…

Что можно «прочитать» по графику функции

Область определения — проекция графика на ось Ox; множество значений — проекция на ось Oy.
Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью Ox; промежутки знакопостоянства — где график выше (f > 0) или ниже (f < 0) этой оси.
Функция возрастает там, где график «идёт вверх» при движении слева направо, убывает — где «идёт вниз».
Точки максимума и минимума — «вершины» и «впадины» графика; значение функции в них — ордината точки (значение, а не абсцисса!).
Наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в точках экстремума внутри отрезка, либо на его концах.

Интерактивная иллюстрация

a (крутизна)1b0c-2

Вершина ≈ (0.00; -2.00). Меняй коэффициенты и смотри, как ведёт себя график y = ax² + bx + c.

Парабола как пример графика: вершина — точка экстремума, по обе стороны от неё функция меняет характер монотонности.

График производной: как по нему судить о функции

f'(x)>0\ \Rightarrow\ f\ \nearrow,\qquad f'(x)<0\ \Rightarrow\ f\ \searrow,\qquad f'(x_0)=0\ \&\ f'\ \mathrm{changes\ sign}\ \Rightarrow\ x_0\ \mathrm{is\ extremum}

Связь знака производной с монотонностью (↗ — возрастает, ↘ — убывает) и экстремумами: в точке x₀ производная равна нулю и меняет знак — экстремум.

Если график f′ лежит выше оси Ox на промежутке — функция f на нём возрастает; ниже оси Ox — убывает.
Нуль производной, в котором знак меняется с «+» на «−», — точка максимума; с «−» на «+» — точка минимума.
Если график f′ только касается оси Ox, не пересекая её (знак не меняется), экстремума нет.
Количество точек экстремума равно числу точек, в которых график f′ пересекает ось Ox (а не касается её).
Чем больше |f′(x)|, тем круче график f; точка, где f′ принимает наибольшее значение, — место, где график f растёт быстрее всего.

Геометрический смысл производной по графику

f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Угловой коэффициент касательной по двум точкам прямой; уравнение касательной.

Чтобы найти f′(x₀) по рисунку, возьмите на касательной две точки с целыми координатами (узлы сетки), вычислите приращение ординаты Δy и приращение абсциссы Δx. Угловой коэффициент k = Δy/Δx. Если касательная «идёт вниз» (угол с осью Ox тупой), k < 0. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, поэтому «касательная параллельна прямой y = kx + b» означает f′(x) = k.

Разбор типовых заданий

ПримерЧисло точек экстремума по знакам производной

Функция y = f(x) определена на интервале (−7; 7). График её производной пересекает ось Ox в точках −5, −2 и 4 и касается оси Ox в точке 1. Известно, что f′(x) > 0 на (−7; −5), f′(x) < 0 на (−5; −2), f′(x) > 0 на (−2; 1), на (1; 4) и f′(x) < 0 на (4; 7). Найдите количество точек экстремума.

Решение

Экстремум есть там, где f′ меняет знак. Точка −5: «+» → «−» — максимум; точка −2: «−» → «+» — минимум; точка 1: слева и справа f′ > 0, знак не меняется — экстремума нет; точка 4: «+» → «−» — максимум. Итого 3 точки экстремума (две точки максимума и одна минимума).

ПримерЦелые точки убывания

Функция y = f(x) определена на интервале (−6; 8). Известно, что f возрастает на (−6; −3] и [0; 4], убывает на [−3; 0] и [4; 8). Сколько целых точек x из интервала (−6; 8) удовлетворяют условию f′(x) < 0?

Решение

Строго отрицательна производная внутри промежутков убывания: на (−3; 0) и на (4; 8). Концы −3, 0, 4 — точки экстремума, в них f′ = 0. Целые точки: −2, −1 и 5, 6, 7. Всего 5.

ПримерУгловой коэффициент касательной по клеткам

К графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ проведена касательная, которая проходит через точки сетки (1; 2) и (5; −2). Найдите f′(x₀).

Решение

f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−2 − 2)/(5 − 1) = −4/4 = −1. Ответ: −1 (касательная «идёт вниз», значит k < 0, и знак совпал с ожидаемым).

ПримерНаибольшее и наименьшее значения по ломаной

График функции y = f(x) — ломаная с вершинами в точках (−4; 0), (−2; 4), (0; −2), (2; 2), (4; −4). Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [−1; 4].

Решение

Экстремумы достигаются в вершинах и на концах. Значения: f(0) = −2, f(2) = 2, f(4) = −4. На отрезке [−2; 0] график прямолинейно спускается от (−2; 4) к (0; −2) с угловым коэффициентом −3, поэтому f(−1) = 4 − 3 = 1. Наибольшее значение: max{1; −2; 2; −4} = 2 (в точке x = 2). Наименьшее: −4 (в точке x = 4). Разность 2 − (−4) = 6.

ПримерКасательная, параллельная заданной прямой

График производной функции f задан формулой f′(x) = x² − 4x + 3 на промежутке [0; 4]. Сколько точек на графике f имеют касательную, параллельную прямой y = −x + 7? А прямой y = −2x + 1?

Решение

Параллельность означает f′(x) = −1 и f′(x) = −2 соответственно. Первое: x² − 4x + 4 = 0, (x − 2)² = 0, одно решение x = 2 (график f′ касается прямой y = −1 в вершине параболы). Второе: x² − 4x + 5 = 0, D = 16 − 20 < 0, решений нет. Ответ: одна точка и ни одной. Заметим, что наименьшее значение f′ на [0; 4] равно f′(2) = −1, поэтому уровень −2 не достигается.

ПримерКасательная как уравнение прямой

Прямая y = −3x + 5 является касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой 2. Найдите f(2) и f′(2).

Решение

Касательная в точке x₀ = 2 проходит через точку графика (2; f(2)), поэтому f(2) = −3·2 + 5 = −1. Угловой коэффициент касательной равен производной: f′(2) = −3.

ПримерТочки экстремума по формуле производной

Производная функции f задана формулой f′(x) = (x − 1)(x − 3)². Найдите точки экстремума.

Решение

Нули производной: x = 1 и x = 3. При x < 1: (x − 1) < 0, (x − 3)² > 0, значит f′ < 0. При 1 < x < 3 и при x > 3: f′ > 0. В точке 1 знак меняется с «−» на «+» — точка минимума. В точке 3 знак не меняется (множитель (x − 3)² чётной кратности) — экстремума нет. Ответ: единственная точка экстремума x = 1 (минимум).

← Последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии Экономическая задача: кредиты, вклады, проценты →