Е
10 мин чтенияфункцииграфикипараболапреобразованиязадание 11задание 18

Функции и графики

Основные элементарные функции, преобразования графиков, квадратичная функция, свойства и чтение графиков (задание 11 и параметры в задании 18).

Открываем тему…

Квадратичная функция

Интерактивная иллюстрация

Вершина ≈ (0.00; -2.00). Меняй коэффициенты и смотри, как ведёт себя график y = ax² + bx + c.

Парабола y = ax² + bx + c: ветви вверх при a > 0, вершина в точке x₀ = −b/(2a).
x0=−b2a,D=b2−4ac,x1,2=−b±D2ax_0=-\frac{b}{2a},\qquad D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
Вершина, дискриминант и корни.
  • D > 0 — два корня и две точки пересечения с осью Ox; D = 0 — касание; D < 0 — корней нет.
  • Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a.
  • Форма y = a(x − x₀)² + y₀ сразу показывает вершину (x₀; y₀).
  • Знак c — ордината пересечения с осью Oy.

Преобразования графиков

  • y = f(x) + b — сдвиг вверх на b; y = f(x − a) — сдвиг вправо на a.
  • y = −f(x) — симметрия относительно Ox; y = f(−x) — относительно Oy.
  • y = k·f(x) — растяжение вдоль Oy в k раз; y = f(kx) — сжатие вдоль Ox в k раз.
  • y = |f(x)| — часть графика ниже Ox отражается вверх.

Элементарные функции

  • Степенная y = xⁿ: чётность, монотонность зависят от n.
  • Показательная y = aˣ: возрастает при a > 1, убывает при 0 < a < 1; область значений (0; +∞).
  • Логарифмическая y = logₐx: обратна показательной, область определения (0; +∞).
  • Тригонометрические: период sin и cos — 2π, tg — π; sin и tg нечётные, cos чётная.
  • Гипербола y = k/x: две ветви, асимптоты — оси координат.
ПримерОпределение коэффициентов по графику
Парабола y = ax² + bx + c имеет вершину (2; −4) и проходит через точку (0; 0). Найдите a, b и c.
Решение
Запишем y = a(x − 2)² − 4. При x = 0: 4a − 4 = 0, a = 1. Раскрываем: y = x² − 4x. Значит a = 1, b = −4, c = 0.
ПримерПересечение графиков
Сколько общих точек у графиков y = x² − 4x + 5 и y = 2?
Решение
x² − 4x + 3 = 0, D = 16 − 12 = 4 > 0, два корня (1 и 3). Две общие точки.
ПримерГипербола по точке
График функции y = k/x проходит через точку (−2; 3). Найдите k и значение функции при x = 4.
Решение
3 = k/(−2), k = −6. y(4) = −6/4 = −1,5.
ПримерПоказательная функция по точке
График функции y = aˣ (a > 0) проходит через точку (3; 8). Найдите y(−2).
Решение
a³ = 8, a = 2. y(−2) = 2⁻² = 1/4 = 0,25.
ПримерПериод тригонометрической функции
Найдите период функции y = sin(πx/3).
Решение
Период sin(kx) равен 2π/|k|. Здесь k = π/3, T = 2π / (π/3) = 6.
ПримерОбласть определения
Найдите область определения функции y = √(x² − 5x + 6).
Решение
x² − 5x + 6 ≥ 0 ⇔ (x − 2)(x − 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 или x ≥ 3. Область определения: (−∞; 2] ∪ [3; +∞).

Формулы для частых типов графиков

y=ax2+bx+c=a(x−x0)2+y0,x0=−b2a,y0=c−b24ay=ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2+y_0,\qquad x_0=-\frac b{2a},\quad y_0=c-\frac{b^2}{4a}
Каноническая форма параболы: вершина (x₀; y₀).
y=kx+b, k=y2−y1x2−x1;y=kx;y=ax;y=log⁡a(x+b)y=kx+b,\ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};\qquad y=\frac kx;\qquad y=a^x;\qquad y=\log_a(x+b)
Прямая, гипербола, показательная и логарифмическая функции: как находить параметры по двум точкам.
y=Asin⁡(ωx+φ)+B:T=2π∣ω∣,ymax⁡=∣A∣+B,ymin⁡=−∣A∣+By=A\sin(\omega x+\varphi)+B:\quad T=\frac{2\pi}{|\omega|},\quad y_{\max}=|A|+B,\quad y_{\min}=-|A|+B
Период, наибольшее и наименьшее значения синусоиды.
ПримерЛогарифмическая функция по двум точкам
График функции y = log_a(x + b) проходит через точки (−1; 0) и (2; 2). Найдите значение функции при x = 14.
Решение
Из (−1; 0): log_a(b − 1) = 0, значит b − 1 = 1 и b = 2. Из (2; 2): log_a 4 = 2, значит a² = 4 и a = 2 (основание положительно). Тогда y(14) = log₂ 16 = 4.
← Производная и её приложенияТекстовые задачи, проценты и экономика →