12 мин чтениякредитвкладпроцентыаннуитетдифференцированные платежиоптимизациязадание 16

Экономическая задача: кредиты, вклады, проценты

Коэффициент наращения, простые и сложные проценты, вклады с пополнением, аннуитетные и дифференцированные платежи, подбор срока и оптимизация (задание 16).

Открываем тему…

Коэффициент наращения

Экономическая задача (линия 16) оценивается в 2 балла и почти всегда решается по одной схеме: вводим коэффициент k, записываем, как меняется долг (или сумма на счёте) каждый год, и составляем уравнение или неравенство. Если сумма выросла на p %, её умножают на k = 1 + p/100; если уменьшилась на p % — на 1 − p/100. Так, рост на 10 % даёт k = 1,1, на 25 % — k = 1,25, а снижение на 20 % — коэффициент 0,8.

S_n=S_0\left(1+\frac{np}{100}\right)\ \ \mathrm{(simple)},\qquad S_n=S_0k^n,\ \ k=1+\frac p{100}\ \ \mathrm{(compound)}

Простые и сложные проценты: в сложных процентах проценты начисляются и на проценты.

Вклады

Если в начале каждого года вкладчик вносит x рублей, а в конце года на сумму начисляется p %, то к концу n-го года на счёте будет x·k + x·k² + … + x·kⁿ — сумма геометрической прогрессии. Если взнос делают в конце года (после начисления процентов), последний взнос в процентах не участвует.

S=x\,k\,\frac{k^n-1}{k-1}

Сумма на счёте через n лет при ежегодном взносе x в начале каждого года.

Кредиты: две основные схемы

В схеме с равными (аннуитетными) платежами заёмщик каждый год отдаёт одну и ту же сумму x. После начисления процентов долг равен kS, после платежа — kS − x; это повторяется n раз, и в конце долг равен нулю. Из условия «долг погашен» находят x. В схеме с дифференцированными платежами основной долг уменьшается на одну и ту же сумму S/n в год, а проценты начисляются на остаток, поэтому платежи образуют арифметическую прогрессию.

x=\frac{S\,k^n(k-1)}{k^n-1}\quad\mathrm{(equal\ payments)}

Равные платежи: S — сумма кредита, n — число платежей, k = 1 + p/100.

P_i=\frac Sn+\frac p{100}\,S\left(1-\frac{i-1}{n}\right),\qquad \sum P_i=S+\frac{S\,p\,(n+1)}{200}

Дифференцированные платежи: платёж в i-й год и общая сумма выплат.

Обозначьте: S — сумма кредита, k — коэффициент, x — платёж. Долг после i-го платежа записывайте как Dᵢ = kDᵢ₋₁ − xᵢ.
Если в условии заданы доли долга по годам (например, «долг в июле: 60 %, 40 %, 20 %, 0 % от S»), платёж равен xᵢ = kDᵢ₋₁ − Dᵢ.
В задачах на срок решается неравенство вида «платёж не больше A» или «переплата не больше B» — проверяйте, что n натуральное.
Общая сумма выплат (или переплата) — сумма платежей; переплата = выплаты − S.

Типовые модели

ПримерПростые и сложные проценты

Вклад 100 000 ₽ размещён на 3 года под 10 % годовых. Сколько получит вкладчик при простых и сколько при сложных процентах?

Решение

Простые: 100 000·(1 + 3·0,1) = 130 000 ₽. Сложные: 100 000·1,1³ = 100 000·1,331 = 133 100 ₽. Разница 3 100 ₽ — это проценты на проценты.

ПримерВклад с ежегодным пополнением

В начале каждого года вкладчик вносит на счёт 100 000 ₽, в конце года банк начисляет 10 %. Сколько будет на счёте через 3 года?

Решение

Первый взнос работает 3 года, второй — 2, третий — 1: 100 000·1,1³ + 100 000·1,1² + 100 000·1,1 = 133 100 + 121 000 + 110 000 = 364 100 ₽. По формуле: S = 100 000·1,1·(1,1³ − 1)/0,1 = 100 000·1,1·3,31 = 364 100.

ПримерАннуитет на два года

Кредит 2 200 000 ₽ взят на 2 года под 20 % годовых и погашается двумя равными платежами. Найдите платёж.

Решение

k = 1,2. После первого платежа долг 1,2·2 200 000 − x = 2 640 000 − x. После второго: 1,2(2 640 000 − x) − x = 0 ⇒ 3 168 000 = 2,2x ⇒ x = 1 440 000. Проверка: 2 640 000 − 1 440 000 = 1 200 000; 1 200 000·1,2 = 1 440 000 — второй платёж погашает долг.

ПримерДифференцированные платежи по годам

Кредит 1 200 000 ₽ на 4 года под 10 % годовых; основной долг каждый год уменьшается на одну и ту же сумму. Найдите платежи и переплату.

Решение

Основной долг уменьшается на 300 000 в год. Проценты по годам: 10 % от 1 200 000 = 120 000; 10 % от 900 000 = 90 000; 10 % от 600 000 = 60 000; 10 % от 300 000 = 30 000. Платежи: 420 000, 390 000, 360 000, 330 000 (арифметическая прогрессия с d = −30 000). Всего выплат 1 500 000, переплата 300 000. Проверка по формуле: S·p·(n + 1)/200 = 1 200 000·10·5/200 = 300 000.

ПримерКакой срок нужен для погашения

Кредит 1 000 000 ₽ под 10 % годовых. Заёмщик платит в конце каждого года 250 000 ₽, а последний платёж — столько, сколько осталось. За сколько лет будет погашен кредит?

Решение

Долг после платежей: год 1: 1 100 000 − 250 000 = 850 000; год 2: 935 000 − 250 000 = 685 000; год 3: 753 500 − 250 000 = 503 500; год 4: 553 850 − 250 000 = 303 850; год 5: 334 235 − 250 000 = 84 235; в конце 6-го года долг с процентами 84 235·1,1 = 92 658,5 ₽ меньше 250 000, поэтому последний платёж 92 658,5 ₽. Кредит будет погашен за 6 лет.

ПримерОптимизация прибыли

Фирма выпускает x тыс. изделий в месяц. Выручка составляет 60x тыс. рублей, издержки — (x² + 20x + 100) тыс. рублей. При каком x прибыль наибольшая и чему она равна?

Решение

Прибыль P(x) = 60x − x² − 20x − 100 = −x² + 40x − 100 — парабола ветвями вниз, наибольшее значение в вершине x = −40/(2·(−1)) = 20. P(20) = −400 + 800 − 100 = 300. Ответ: при x = 20 тыс. изделий прибыль наибольшая и равна 300 тыс. рублей.

ПримерСравнение двух вкладов

Вклад A: 8 % годовых с начислением раз в год. Вклад B: 4 % каждые полгода с начислением в конце каждого полугодия. Какой вклад выгоднее за год?

Решение

Для A коэффициент за год равен 1,08. Для B за год: 1,04² = 1,0816. Так как 1,0816 > 1,08, вклад B выгоднее: эффективная годовая ставка 8,16 %. Разница возникает из-за капитализации процентов внутри года.

← Чтение графиков функций и производной Первообразная и интеграл →