13 мин чтенияпараметрграфикдискриминанттеорема Виетаколичество решенийзадание 18
Задачи с параметром
Аналитический и графический методы, исследование квадратичных уравнений, расположение корней, количество решений, симметрия (задание 18).
Открываем тему…
Что требуется и как оценивается
Параметр — это «замороженное» число, которое мы ещё не знаем: для каждого его значения нужно решить задачу. Вопросы бывают трёх типов: решить уравнение (неравенство) при всех значениях параметра; найти значения параметра, при которых выполнено свойство (ровно k корней, корни положительны, решение единственно и т. п.); найти параметры, при которых система совместна. Задание 18 оценивается до 4 баллов, поэтому даже частичное исследование (разбор случаев, верный график) приносит баллы.
Определите тип уравнения и случаи, когда он меняется (старший коэффициент равен нулю, знаменатель обращается в нуль).
Выберите метод: аналитический (дискриминант, Виета, расположение корней), графический (в плоскости (x; y) или (x; a)), метод симметрии или оценки.
Разберите все случаи и не потеряйте «особые» значения параметра.
Запишите ответ как множество значений a (объединение промежутков и отдельных чисел).
Аналитический метод
ax2+bx+c=0:D=b2−4ac,x1+x2=−ab,x1x2=ac
Для a ≠ 0. Два различных корня при D > 0, один (кратный) при D = 0.
Расположение корней квадратного трёхчлена f(x) = ax² + bx + c относительно точки m (для a > 0): оба корня больше m ⇔ D ≥ 0, x_верш = −b/(2a) > m и f(m) > 0; число m лежит между корнями ⇔ f(m) < 0; оба корня положительны ⇔ D ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0. Перед применением этих условий убедитесь, что уравнение действительно квадратное.
ПримерЛинейное уравнение: разбор случаев
Решите уравнение (a − 1)x = a² − 1 при всех значениях параметра a.
Решение
Если a ≠ 1, то x = (a² − 1)/(a − 1) = a + 1. Если a = 1, уравнение принимает вид 0·x = 0 — верно при любом x. Ответ: при a ≠ 1 корень x = a + 1; при a = 1 корнем является любое число.
ПримерЛовушка: уравнение может быть не квадратным
Найдите все значения a, при которых уравнение (a − 1)x² − 2x + 1 = 0 имеет ровно один корень.
Решение
Случай a = 1: уравнение −2x + 1 = 0 имеет единственный корень x = 1/2 — подходит. Случай a ≠ 1: D = 4 − 4(a − 1) = 4(2 − a) = 0 ⇒ a = 2 (корень x = 1). Ответ: a ∈ {1; 2}.
ПримерУсловие на число корней через дискриминант
При каких a уравнение x² − 2ax + a + 2 = 0 имеет два различных корня?
Решение
D/4 = a² − (a + 2) = a² − a − 2 = (a − 2)(a + 1) > 0 ⇒ a < −1 или a > 2.
ПримерТеорема Виета и знаки корней
При каких a оба корня уравнения x² − 2ax + a + 2 = 0 (возможно, совпадающие) положительны?
Решение
Нужно: D ≥ 0, x₁ + x₂ = 2a > 0, x₁x₂ = a + 2 > 0. D ≥ 0 ⇔ (a − 2)(a + 1) ≥ 0 ⇔ a ≤ −1 или a ≥ 2. Из 2a > 0 получаем a > 0; a + 2 > 0 при a > 0 выполнено. Пересечение: a ≥ 2. Проверка при a = 2: x² − 4x + 4 = 0, x = 2 > 0.
Графический метод
Интерактивная иллюстрация
Вершина ≈ (0.00; -2.00). Меняй коэффициенты и смотри, как ведёт себя график y = ax² + bx + c.
Число решений уравнения f(x) = a — число пересечений графика y = f(x) с горизонталью y = a.
Если уравнение удаётся записать в виде f(x) = a (параметр отделён), то число корней — это число точек пересечения графика y = f(x) с горизонтальной прямой y = a. Двигайте прямую снизу вверх и фиксируйте, как меняется число пересечений: границы промежутков — это значения функции в точках локальных экстремумов, на концах и в «выколотых» точках. Если параметр входит в формулу как коэффициент наклона (y = ax), используйте пучок прямых через фиксированную точку и ищите касательные и граничные положения.
ПримерЧисло корней при замене x² − 2|x|
Найдите все значения a, при которых уравнение x² − 2|x| = a имеет ровно три различных корня.
Решение
Функция y = x² − 2|x| чётная. При x ≥ 0: y = x² − 2x, вершина (1; −1), нули x = 0 и x = 2. Отразим график симметрично Oy: получаем W-образную кривую с минимумами −1 в точках x = ±1 и локальным максимумом 0 в точке x = 0. Число пересечений с y = a: a < −1 — 0 корней; a = −1 — 2; −1 < a < 0 — 4; a = 0 — 3 (x = 0, ±2); a > 0 — 2. Ответ: a = 0.
Симметрия и оценка
Если уравнение не меняется при замене x на −x (или на 2c − x), то корни парные, и единственным корнем может быть лишь точка симметрии. Это даёт необходимое условие на параметр; затем обязательно проверяется достаточность — подстановкой найденных значений. Так же работает оценка: если одна часть уравнения не меньше m, а другая не больше m, равенство возможно лишь при равенстве обеих частей m.
ПримерМетод симметрии: необходимость и достаточность
Найдите все a, при которых уравнение x⁴ + 2x² = 4 − a² имеет единственный корень.
Решение
Левая часть чётна: если x₀ — корень, то −x₀ тоже. Единственность возможна только при x₀ = 0: подставляем x = 0 ⇒ 0 = 4 − a² ⇒ a = ±2. Проверка: при a² = 4 уравнение x²(x² + 2) = 0 имеет единственный корень x = 0. Ответ: a = −2, a = 2. (Заметим: при |a| < 2 правая часть положительна и корней два, при |a| > 2 корней нет.)
ПримерНеравенство с параметром
При каких a множество решений неравенства x² − (a + 1)x + a < 0 есть промежуток длиной 3?
Решение
x² − (a + 1)x + a = (x − 1)(x − a). Решением при a ≠ 1 является интервал между числами 1 и a, его длина |a − 1|. Условие |a − 1| = 3 даёт a = 4 или a = −2. При a = 1 решений нет. Ответ: a = −2, a = 4.
Условия на корни через дискриминант, абсциссу вершины x₀ и значение f(m) в контрольной точке m.
Число корней показательного уравнения с параметром сводится к числу положительных корней квадратного уравнения после замены t = aˣ > 0.
Корни разных знаков ⇔ c/a < 0 (при этом D > 0 выполнено автоматически); оба корня положительны ⇔ D ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0.
Если условие инвариантно относительно замены x → −x, единственное решение возможно лишь при x = 0 — это «необходимое условие», найденные значения параметра нужно проверить.
Графический метод: перенесите параметр в одну сторону (a = f(x)) и двигайте горизонтальную прямую y = a по графику f(x).
ПримерДва положительных корня
При каких значениях a уравнение x² − 2ax + a + 2 = 0 имеет два различных положительных корня?
Решение
Нужны три условия. D > 0: a² − a − 2 > 0 ⇒ a < −1 или a > 2. Сумма корней 2a > 0 ⇒ a > 0. Произведение a + 2 > 0 ⇒ a > −2. Пересечение: a > 2. Ответ: (2; +∞).
ПримерПоказательное уравнение с параметром
При каких a уравнение 4ˣ − 2a·2ˣ + a + 2 = 0 имеет ровно одно решение?
Решение
Пусть t = 2ˣ > 0: t² − 2at + a + 2 = 0, и каждому положительному t соответствует ровно одно x. Нужно, чтобы у квадратного уравнения был ровно один положительный корень. Случай 1: корни разных знаков, a + 2 < 0, то есть a < −2. Случай 2: D = 0, то есть a = 2 или a = −1; тогда t = a: при a = 2 корень t = 2 > 0 подходит, при a = −1 корень t = −1 < 0 не подходит. Случай a = −2 даёт t = 0 и t = −4, положительных корней нет. Ответ: a < −2 или a = 2.