10 мин чтенияпрогрессияарифметическая прогрессиягеометрическая прогрессиясуммапоследовательностьзадание 10задание 16задание 19
Последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии
Формулы n-го члена и суммы, характеристические свойства, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и текстовые задачи на прогрессии (задания 10, 16, 19).
Открываем тему…
Что такое прогрессия
Последовательность — это числа a₁, a₂, a₃, …, пронумерованные натуральными числами. Арифметическая прогрессия задаётся первым членом a₁ и разностью d: каждый следующий член получается прибавлением d. Геометрическая прогрессия задаётся первым членом b₁ ≠ 0 и знаменателем q ≠ 0: каждый следующий член получается умножением на q. Прогрессии встречаются в текстовых задачах («каждый день на 2 км больше»), в кредитах (дифференцированные платежи образуют арифметическую прогрессию) и в заданиях на числа и их свойства.
Арифметическая прогрессия
- d > 0 — прогрессия возрастает, d < 0 — убывает, d = 0 — постоянная.
- Чтобы найти число членов n в записи 3, 5, 7, …, 47, решите уравнение a₁ + (n − 1)d = 47.
- Сумма членов, равноудалённых от концов, одинакова: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …, поэтому Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2.
- Любой член можно получить из соседнего: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ при n ≥ 2, a₁ = S₁.
Примерn-й член и сумма
В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = 3. Найдите a₂₀ и S₂₀.
Решение
a₂₀ = 7 + 19·3 = 64. S₂₀ = (7 + 64)·20/2 = 71·10 = 710.
ПримерРазность по двум членам
В арифметической прогрессии a₃ = 10, a₇ = 26. Найдите a₁ и сумму первых десяти членов.
Решение
a₇ − a₃ = 4d = 16, откуда d = 4. a₁ = a₃ − 2d = 10 − 8 = 2. a₁₀ = 2 + 9·4 = 38. S₁₀ = (2 + 38)·10/2 = 200.
ПримерСумма нечётных чисел
Найдите сумму 3 + 5 + 7 + … + 47.
Решение
Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3, d = 2. Из 3 + 2(n − 1) = 47 получаем n = 23. S = (3 + 47)·23/2 = 25·23 = 575. Проверка: сумма всех нечётных от 1 до 47 равна 24² = 576, вычитаем 1.
ПримерЧлен по формуле суммы
Сумма первых n членов последовательности равна Sₙ = n² + 2n. Найдите a₁₀ и докажите, что это арифметическая прогрессия.
Решение
a₁₀ = S₁₀ − S₉ = (100 + 20) − (81 + 18) = 120 − 99 = 21. При n ≥ 2: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = n² + 2n − (n − 1)² − 2(n − 1) = 2n + 1; при n = 1: a₁ = S₁ = 3 = 2·1 + 1. Значит aₙ = 2n + 1 для всех n, разность постоянна и равна 2 — это арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия
- При q > 1 и b₁ > 0 прогрессия возрастает; при 0 < q < 1 — убывает; при q < 0 знаки членов чередуются.
- Произведение членов, равноудалённых от концов, одинаково: b₁bₙ = b₂bₙ₋₁ = …
- Если вклад растёт каждый год на p %, то суммы по годам образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1 + p/100.
ПримерШестой член и сумма
Геометрическая прогрессия: b₁ = 3, q = 2. Найдите b₆ и S₆.
Решение
b₆ = 3·2⁵ = 96. S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3·63 = 189.
ПримерБесконечно убывающая прогрессия
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 12, 4, 4/3, …
Решение
q = 4/12 = 1/3, |q| < 1, поэтому S = b₁/(1 − q) = 12 / (2/3) = 18.
ПримерТри числа в геометрической прогрессии
Три числа образуют геометрическую прогрессию, их сумма равна 21, а сумма квадратов равна 189. Найдите эти числа.
Решение
Обозначим числа b, bq, bq². Тогда b(1 + q + q²) = 21 и b²(1 + q² + q⁴) = 189. Так как 1 + q² + q⁴ = (1 + q + q²)(1 − q + q²), деление второго равенства на первое даёт b(1 − q + q²) = 9. Вычитая из первого равенства второе, получаем 2bq = 12, то есть bq = 6. Тогда b = 6/q и 6(1 + q + q²)/q = 21, откуда 2q² − 5q + 2 = 0 и q = 2 или q = 1/2. Получаем числа 3, 6, 12 (или в обратном порядке 12, 6, 3). Проверка: 3 + 6 + 12 = 21; 9 + 36 + 144 = 189.
Текстовые задачи на прогрессии
ПримерПуть туриста
В первый день турист прошёл 20 км, а в каждый следующий день — на 2 км меньше, чем в предыдущий. За сколько дней он пройдёт 110 км?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = −2. Sₙ = (2·20 + (n − 1)(−2))·n/2 = n(21 − n). Решаем n(21 − n) = 110: n² − 21n + 110 = 0, D = 441 − 440 = 1, n = 10 или n = 11. При n = 11 одиннадцатый член равен 20 − 20 = 0, то есть в 11-й день турист не идёт, поэтому 110 км он пройдёт за 10 дней.