9 мин чтенияКИМстратегиятаймингбаллыоформлениетипичные ошибки
Структура экзамена и стратегия
Структура КИМ профильной математики, баллы за задания, распределение времени, оформление и типичные ошибки части 1 и части 2.
Открываем тему…
Структура работы
Профильная математика в формате 2024–2027 годов содержит 19 заданий и рассчитана на 235 минут (3 часа 55 минут). Максимальный первичный балл — 32. Ориентируйтесь на актуальные демоверсию, кодификатор и шкалу перевода баллов на сайте ФИПИ — детали критериев могут уточняться.
- Часть 1 (задания 1–12): краткий ответ — целое число или конечная десятичная дробь; по 1 баллу за задание, всего 12 баллов.
- Задание 13 — тригонометрическое/другое уравнение с отбором корней: до 2 баллов.
- Задание 14 — стереометрия: до 3 баллов (доказательство + вычисление).
- Задание 15 — неравенство: до 2 баллов.
- Задание 16 — экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация): до 2 баллов.
- Задание 17 — планиметрия (доказательство + вычисление): до 3 баллов.
- Задание 18 — задача с параметром: до 4 баллов.
- Задание 19 — числа и их свойства: до 4 баллов.
Распределение времени
Часть 1 состоит из заданий разной длины: 1–5 решаются за 1–3 минуты, 6–12 — за 3–7 минут. Разумный ориентир — уложиться в 60–75 минут, оставив ~160 минут на часть 2. Начинайте часть 2 с заданий, которые вы решаете уверенно (чаще всего 13 и 15, затем 16 и 17, 14), а 18 и 19 оставляйте на конец: даже пункты а) и б) в 19 или аккуратный частичный разбор в 18 дают баллы. Последние 15–20 минут оставьте на перенос в чистовик и проверку.
ПримерПроверка ответа в текстовой задаче
Катер прошёл 36 км по течению и 36 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Решение
36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 5 ⇒ 36·2v = 5(v² − 9) ⇒ 5v² − 72v − 45 = 0. D = 5184 + 900 = 6084 = 78², v = (72 + 78)/10 = 15 (второй корень отрицателен). Проверка по условию: 36/18 + 36/12 = 2 + 3 = 5. Привычка проверять подстановкой в текст задачи спасает от арифметических ошибок.
ПримерКак оценивается задание 13 (пример)
а) Решите уравнение 2cos²x − cos x = 0. б) Найдите корни на отрезке [0; π].
Решение
Решение: cos x (2cos x − 1) = 0 ⇒ cos x = 0 или cos x = 1/2 ⇒ x = π/2 + πn; x = ±π/3 + 2πn. Это содержание пункта а) — за верное решение с полным ответом ставят 1 балл. Отбор на [0; π]: из серии π/2 + πn подходит π/2 (n = 0); из ±π/3 + 2πn подходит π/3. Ответ б): π/3, π/2 — второй балл. Недочёты, из-за которых балл снимают: потерянная серия, неверный отбор, ответ без «n ∈ ℤ».
ПримерИдея «пример + оценка» для задания 19
а) Можно ли из чисел 1, 2, …, 10 выбрать пять чисел с суммой 40? б) А с суммой 41?
Решение
а) Наибольшая возможная сумма пяти чисел — 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40, значит набор {6, 7, 8, 9, 10} подходит (пример). б) Больше 40 получить нельзя, так как любые пять различных чисел из набора не превышают 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40 (оценка), поэтому сумма 41 невозможна. Пример и оценка — две обязательные части решения.
ПримерПроверка корня в задании 6
Решите уравнение √(2x + 7) = x + 2. Если корней несколько, запишите меньший из подходящих.
Решение
Возводим в квадрат: 2x + 7 = x² + 4x + 4 ⇒ x² + 2x − 3 = 0 ⇒ x = 1 или x = −3. Проверка по условию x + 2 ≥ 0: при x = −3 правая часть равна −1 < 0 — корень посторонний. При x = 1: √9 = 3 = 1 + 2 — верно. Ответ: 1. На экзамене такая проверка занимает 20 секунд и защищает от потери балла.
Стратегия части 1
- Решайте по порядку; если задача не идёт больше 5–7 минут, пометьте её и вернитесь позже.
- В заданиях 1–3 ответ — чаще всего целое число или несложная дробь; проверьте единицы измерения и что вы нашли именно то, что просят (площадь, а не высоту).
- В заданиях 4–5 проверьте, что вероятность не превышает 1 и что события независимы там, где вы умножаете.
- В заданиях 6–7 подставьте корень в исходное уравнение; в 8, 11, 12 — проверьте, что просят: точку или значение функции.
- В заданиях 9–10 составьте краткую запись условия (таблицу «величина — скорость — время») и проверьте полученный ответ по тексту задачи.
- Переносите в бланк ответ в требуемом формате: запятая в десятичной дроби, без единиц измерения и пробелов, без знака «%».
Стратегия части 2
- Пишите коротко, но связно: условие → идея → вычисление → ответ. Каждое утверждение либо очевидно, либо снабжено ссылкой на теорему.
- Задание 14 и 17: рисунок обязателен и должен быть читаем; доказательство отделите от вычислительной части.
- Задание 15: не забудьте ОДЗ и аккуратно пересеките решения подсистем.
- Задание 16: введите обозначения, составьте таблицу долга по годам (месяцам), запишите условие «кредит погашен».
- Задание 18: разбирайте особые случаи, строя график и проверяя крайние значения параметра.
- Задание 19: всегда делайте оценку и пример; пример проверяйте на каждом условии задачи.
Карта тем: какое задание какой раздел теории закрывает
- Задания 1, 17 — планиметрия; 2, 14 — векторы и стереометрия; 3 — объёмы и поверхности тел.
- Задания 4, 5 — вероятность и статистика; 6, 13 — уравнения; 7 — преобразования выражений; 15 — неравенства.
- Задания 8, 11, 12 — функции, графики, производная (раздел «Чтение графиков»); 9, 10 — прикладные и текстовые задачи.
- Задание 16 — экономическая задача (раздел «Кредиты, вклады, проценты»); прогрессии — раздел «Последовательности»; 18 — параметры; 19 — числа и их свойства.
ПримерФормат записи ответа в части 1
В решении задачи 5 получилась вероятность 3/8. Как записать ответ в бланк?
Решение
В бланк записывают конечную десятичную дробь через запятую: 0,375. Обыкновенные дроби, смешанные числа, проценты и единицы измерения не пишут. Если в условии сказано «округлите до сотых», записывают 0,38.