10 мин чтениякомбинаторикасочетаниявероятностьзадания 4–5
Комбинаторика для вероятности
Правила суммы и произведения, перестановки, размещения, сочетания — аппарат заданий 4–5.
Открываем тему…
Основные правила
- Правило произведения: если есть n способов выбрать первое и m — второе, всего n·m.
- Правило суммы: несовместные варианты складывают.
- Перестановки n объектов: n!.
- Размещения (порядок важен): A_n^k = n! / (n−k)!.
- Сочетания (порядок не важен): C_n^k = n! / (k!(n−k)!).
ПримерКомитет
Сколькими способами выбрать 3 человека из 10?
Решение
C_10^3 = 120.
ПримерКоды
Сколько трёхзначных кодов из цифр 0–9 с различными цифрами?
Решение
Первая цифра: 1–9 (9 вариантов), затем 9 оставшихся (включая 0, исключая использованную), затем 8: 9·9·8 = 648. Либо A_10^3 − A_9^2 = 720 − 72 = 648.
ПримерВ вероятность
В урне 5 белых и 4 чёрных шара. Наугад достают 2. Вероятность, что оба белые?
Решение
P = C_5^2 / C_9^2 = 10 / 36 = 5/18.
ПримерС повторениями
Сколько слов длины 4 из букв А, Б, В, если буквы могут повторяться?
Решение
3⁴ = 81.
ПримерОсторожно с порядком
Почему в задаче про шары используют сочетания, а в задаче про очередь — перестановки?
Решение
Если важен только состав множества — сочетания. Если важен порядок (места, очередь, код) — размещения или перестановки.