12 мин чтенияинтегралпервообразнаяплощадьНьютон–Лейбницзадание 12
Первообразная и интеграл
Первообразная, неопределённый и определённый интеграл, формула Ньютона–Лейбница, площадь криволинейной трапеции — связь с линиями 8 и 12.
Открываем тему…
Первообразная
Функция F называется первообразной для f на промежутке, если F′(x) = f(x) в каждой точке промежутка. Если F — одна первообразная, то все остальные имеют вид F(x) + C.
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1).
- ∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C.
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C; ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C.
- Линейность: ∫ (αf + βg) = α∫f + β∫g.
ПримерНайти первообразную
Найдите первообразную F для f(x) = 3x² − 2x + 1, если F(0) = 4.
Решение
F(x) = x³ − x² + x + C. Из F(0) = 4: C = 4. Значит F(x) = x³ − x² + x + 4.
Определённый интеграл и площадь
Если f ≥ 0 на [a; b], интеграл равен площади под графиком. Если график ниже оси Ox, интеграл отрицателен; площадь фигуры берут как модуль или разбивают на участки.
ПримерПлощадь под параболой
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 2.
Решение
S = ∫₀² x² dx = x³/3 |₀² = 8/3.
ПримерСвязь с производной
Известно, что F′(x) = 2x, F(1) = 5. Найдите F(3).
Решение
F(x) = x² + C, F(1) = 1 + C = 5 ⇒ C = 4. F(3) = 9 + 4 = 13. Эквивалентно: F(3) − F(1) = ∫₁³ 2x dx = 8, F(3) = 13.
ПримерПлощадь между графиками
Площадь между y = x и y = x² на [0; 1].
Решение
S = ∫₀¹ (x − x²) dx = (x²/2 − x³/3)|₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.
ПримерГрафик первообразной
По графику y = f(x) (кусочно-линейный) оцените приращение первообразной от a до b.
Решение
Приращение F(b) − F(a) равно площади с учётом знака: участки выше Ox дают плюс, ниже — минус. На ЕГЭ это связывают с чтением графиков в заданиях 8 и 12.