Математика: банк заданий
116 тренировочных задач. Фильтруй по линии КИМ прямо в списке — номер линии указан на карточке.
Медиана прямоугольного треугольника
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, катеты $AC = 9$ и $BC = 12$. Найдите длину медианы $CM$, проведённой к гипотенузе.
Площадь равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 13, а основание равно 10. Найдите площадь треугольника.
Площадь параллелограмма
Стороны параллелограмма равны $8$ и $5$, а угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.
Площадь равнобедренной трапеции
Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 10, а боковая сторона равна 5. Найдите площадь трапеции.
Расстояние от центра до хорды
Радиус окружности равен 13, длина хорды равна 24. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
Вписанный угол
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Центральный угол $AOB$ равен $84^\circ$, точка $C$ лежит на большей дуге $AB$. Найдите угол $ACB$ (в градусах).
Скалярное произведение векторов в пространстве
Даны векторы $\vec{a}(3;\,-2;\,4)$ и $\vec{b}(2;\,5;\,-1)$. Найдите их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Длина вектора
Найдите длину вектора $\vec{a}(-3;\,4;\,12)$.
Угол между векторами
Найдите угол между векторами $\vec{a}(1;\,1;\,0)$ и $\vec{b}(0;\,1;\,1)$. Ответ дайте в градусах.
Коллинеарные векторы
Векторы $\vec{a}(2;\,-3;\,6)$ и $\vec{b}(-4;\,m;\,n)$ коллинеарны. Найдите $m + n$.
Скалярное произведение по длинам и углу
Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $3$ и $4$, угол между ними равен $120^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
Середина отрезка в пространстве
Точка $M(1;\,1;\,4)$ — середина отрезка $AB$, где $A(-2;\,5;\,1)$. Найдите сумму координат точки $B$.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4 и 12. Найдите длину его диагонали.
Боковая поверхность правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Объём куба по диагонали
Диагональ куба равна $5\sqrt{3}$. Найдите его объём.
Полная поверхность цилиндра
Радиус основания цилиндра равен $3$, высота равна $5$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
Объём шара по площади поверхности
Площадь поверхности шара равна $144\pi$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
Объём правильной треугольной призмы
Сторона основания правильной треугольной призмы равна $4$, боковое ребро равно $5\sqrt{3}$. Найдите объём призмы.
Шары в урне
В непрозрачной коробке лежат 12 красных, 8 синих и 5 зелёных шаров, одинаковых на ощупь. Наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он окажется не зелёным.
Три броска монеты
Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Участники олимпиады
На олимпиаде 150 участников разместили в трёх аудиториях. В первые две аудитории направили по 60 человек, остальных проводят в запасную аудиторию. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Научная конференция
Научная конференция проходит в течение 5 дней, всего запланировано 50 докладов: первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Хотя бы один орёл
Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Условная вероятность: сумма очков на двух кубиках
Игральный кубик бросили два раза. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 3 очка.
Брак на двух станках
Первый станок выпускает 60% всех деталей цеха, второй — остальные 40%. Среди деталей первого станка брак составляет 2%, среди деталей второго — 5%. Найдите вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной.
Серия выстрелов с заданным порядком
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он делает 5 выстрелов. Найдите вероятность того, что первые три раза он попал в мишень, а последние два промахнулся. Результат округлять не нужно.
Формула Бернулли
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Стрелок делает 4 независимых выстрела. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно 3 раза.
Яйца из двух хозяйств
Агрофирма закупает яйца в двух хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Брак на двух фабриках
Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая выпускает 45% этих стёкол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Выход команды в следующий круг
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команда пройдёт в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}4$.
Иррациональное уравнение
Решите уравнение $\sqrt{2x + 7} = x + 2$. Если корней несколько, в ответе запишите меньший из них.
Логарифмическое уравнение
Найдите корень уравнения $\log_2(x + 5) = 4$.
Показательное уравнение с дробным основанием
Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3} = 125$.
Квадратное уравнение
Найдите корень уравнения $x^2 + 2x - 24 = 0$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший из них.
Дробно-рациональное уравнение
Найдите корень уравнения $\dfrac{x+1}{x-4} = \dfrac{3}{2}$.
Логарифмическое уравнение с квадратным аргументом
Решите уравнение $\log_3(x^2 + 2x) = 1$. Если корней несколько, в ответе запишите больший из них.
Тригонометрическое уравнение: наибольший отрицательный корень
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin\dfrac{\pi(x+1)}{3} = \dfrac{1}{2}$. В ответе запишите его значение.
Разность логарифмов
Найдите значение выражения $\log_3 54 - \log_3 2$.
Тангенс по косинусу
Известно, что $\cos\alpha = 0{,}6$ и $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$. Найдите значение выражения $15\,\mathrm{tg}\,\alpha$.
Свойства степеней
Найдите значение выражения $\dfrac{2^9\cdot 3^5}{6^4}$.
Логарифмические тождества
Найдите значение выражения $\log_{0{,}5} 8 + 36^{\log_6 5}$.
Произведение логарифмов
Найдите значение выражения $\log_3 5\cdot\log_5 81$.
Формула синуса двойного угла
Найдите значение выражения $\dfrac{4\sin 10^\circ\cos 10^\circ}{\sin 20^\circ}$.
Формулы приведения
Найдите значение выражения $\dfrac{-18\cos 112^\circ}{\cos 68^\circ}$.
Точка минимума кубической функции
Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 12x + 5$.
Параллельная касательная
Касательная к графику функции $f(x) = x^2 - 4x + 7$ в точке с абсциссой $x_0$ параллельна прямой $y = 6x + 1$. Найдите $x_0$.
Точка максимума кубической функции
Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 48x + 11$.
Значение производной произведения
Найдите значение производной функции $f(x) = (x^2 + 3)(x - 1)$ в точке $x_0 = 2$.
Прямая — касательная к параболе
Прямая $y = 4x - 1$ является касательной к графику функции $y = x^2 + bx + 3$. Найдите $b$, учитывая, что абсцисса точки касания отрицательна.
Момент времени с заданной скоростью
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t + 5$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта (в метрах), $t$ — время (в секундах), измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $15$ м/с?
Мяч выше 10 метров
Высота (в метрах) мяча, подброшенного вверх, зависит от времени по закону $h(t) = 2 + 14t - 5t^2$, где $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч находится на высоте не менее 10 метров?
Выручка монополиста
Зависимость объёма спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задаётся формулой $q = 100 - 10p$. Выручка предприятия за месяц $r$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r = q \cdot p$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Камень выше 5,6 метра
Высота (в метрах) камня, брошенного вертикально вверх, зависит от времени по закону $h(t) = 1{,}6 + 12t - 5t^2$. Сколько секунд камень находится на высоте не менее $5{,}6$ метра?
Нагревательный элемент
Температура нагревательного элемента (в кельвинах) зависит от времени работы по закону $T(t) = 1380 + 165t - 15t^2$, где $t$ — время в минутах. При температуре выше $1800$ К прибор испортится, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор? Ответ дайте в минутах.
Водолазный колокол
Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1{,}5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha\nu T \log_2\dfrac{p_2}{p_1}$ (Дж), где $\alpha = 5{,}75$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $13\,800$ Дж.
Тепловое расширение рельса
При температуре $0^\circ$C рельс имеет длину $l_0 = 10$ м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в $6$ мм. Длина рельса при температуре $t^\circ$C вычисляется по формуле $l(t) = l_0(1 + \alpha t)$, где $\alpha = 1{,}2\cdot 10^{-5}\,(^\circ\mathrm{C})^{-1}$ — коэффициент теплового расширения. При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? (Ответ дайте в градусах Цельсия.)
Совместная работа
Двое рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 6 часов. Первый, работая один, выполнил бы заказ на 5 часов быстрее, чем второй. За сколько часов выполнит заказ один второй рабочий?
Лодка по течению и против
Моторная лодка прошла 48 км против течения реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 9 часов. Скорость течения равна 4 км/ч. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч).
Длина поезда
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям навстречу поезду со скоростью 3 км/ч, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Проценты: повышение и снижение цены
Цену товара сначала повысили на 10%, а затем снизили на 10%. После этого товар стал стоить 1980 рублей. Какова была первоначальная цена товара (в рублях)?
Два сплава
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Две машины из А в В
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Парабола по вершине и точке
График квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $(1;\,2)$ и проходит через точку $(0;\,3)$. Найдите $f(5)$.
Линейная функция по двум точкам
График линейной функции $y = kx + b$ проходит через точки $(-2;\,-3)$ и $(4;\,9)$. Найдите значение функции при $x = 10$.
Парабола по вершине и нулю
График квадратичной функции $f(x)$ имеет вершину в точке $(-1;\,4)$ и проходит через точку $(1;\,0)$. Найдите $f(3)$.
Показательная функция по двум точкам
График функции $f(x) = a^x + b$ (где $a > 0$) проходит через точки $(0;\,4)$ и $(2;\,12)$. Найдите $f(3)$.
Наибольшее значение синусоиды
Найдите наибольшее значение функции $y = 6\sin x + 8\cos x + 3$.
Логарифмическая функция по двум точкам
График функции $f(x) = \log_a(x + b)$ проходит через точки $(-1; 0)$ и $(2; 2)$. Найдите $f(14)$.
Наименьшее значение кубической функции
Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ на отрезке $[0;\,6]$.
Минимум с логарифмом
Найдите наименьшее значение функции $y = 4x - 4\ln(x + 5) + 7$ на отрезке $[-4{,}5;\,0]$.
Наибольшее значение на отрезке
Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 12x + 7$ на отрезке $[-3;\,3]$.
Минимум произведения с экспонентой
Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 3)e^{x - 2}$ на отрезке $[1;\,3]$.
Наибольшее значение с логарифмом
Найдите наибольшее значение функции $y = 5\ln(x + 5) - 5x$ на отрезке $[-4{,}5;\,0]$.
Монотонность с тангенсом
Найдите наибольшее значение функции $y = 7\operatorname{tg} x - 7x + 9$ на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{4};\,0\right]$.
Тригонометрическое уравнение с отбором корней
а) Решите уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\ 3\pi\right]$.
Уравнение с косинусом двойного угла
а) Решите уравнение $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Уравнение с тангенсом и ОДЗ
а) Решите уравнение $\operatorname{tg} x = 2\sin x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Однородное тригонометрическое уравнение
а) Решите уравнение $2\sin^2 x - 5\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\ 2\pi]$.
Формула приведения и квадратное уравнение относительно косинуса
а) Решите уравнение $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; 5\pi\right]$.
Показательно-тригонометрическое уравнение
а) Решите уравнение $4^{\cos x} - 3\cdot 2^{\cos x} + 2 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\pi\right]$.
Расстояние от вершины куба до сечения
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_1BD$.
Расстояние от центра основания до боковой грани
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, высота $SO$ равна $4$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. а) Докажите, что плоскости $SOM$ и $SBC$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $SBC$.
Угол между скрещивающимися диагоналями в призме
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $6$. а) Докажите, что прямые $A_1B$ и $AB_1$ перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Сечение правильной призмы через диагональ основания
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB = 4$, боковое ребро $AA_1 = 6$. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. а) Докажите, что плоскость $BDM$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $BDM$.
Угол между противоположными боковыми гранями пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB = 6$, высота $SO = 4$ ($O$ — центр основания). а) Докажите, что плоскости $SAB$ и $SCD$ пересекаются по прямой, параллельной $AB$. б) Найдите угол между плоскостями $SAB$ и $SCD$.
Расстояние от середины ребра до плоскости в треугольной призме
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $6$, боковое ребро равно $3$. Точка $M$ — середина ребра $AB$. а) Докажите, что плоскость $CC_1M$ перпендикулярна плоскости $ABB_1$. б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $A_1BC$.
Показательное неравенство
Решите неравенство $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 \ge 0$.
Квадратное неравенство относительно логарифма
Решите неравенство $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 6 \le 0$.
Дробно-рациональное неравенство со сложным числителем
Решите неравенство $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1} \le 0$.
Показательное неравенство с дробью
Решите неравенство $\dfrac{1}{2^x - 1} \ge 1$.
Логарифмическое неравенство с переменным основанием
Решите неравенство $\log_x(7x - 12) \le 2$.
Система: показательное и дробно-рациональное неравенства
Решите систему неравенств $\begin{cases} 4^x - 5\cdot 2^x + 4 \ge 0, \\ \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 3} \le 0. \end{cases}$
Кредит с дифференцированными платежами
15-го числа некоторого месяца планируется взять кредит в банке на 12 месяцев в размере 1 200 000 рублей. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Сколько рублей составит общая сумма выплат по кредиту?
Кредит на 3 года, равномерное уменьшение долга
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 000 000 рублей на 3 года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите общую сумму выплат по кредиту (в рублях).
Аннуитетный платёж за 2 года
В июле планируется взять кредит на сумму 2 100 000 рублей на 2 года. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — кредит должен быть погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года — одинаковыми платежами в каждый из двух лет). Найдите сумму ежегодного платежа (в рублях).
Определение процентной ставки
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на 2 года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; — в первый год выплачивают 600 000 рублей, во второй год — 550 000 рублей, после чего долг полностью погашен. Найдите $r$.
Равные платежи на три года: общая сумма выплат
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 310 000 рублей на 3 года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — кредит должен быть погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года — одинаковыми платежами в каждый из трёх лет). Найдите общую сумму выплат банку (в рублях).
Кредит с заданной схемой уменьшения долга
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $S$ рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на $25\%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть равен: после первого года — $60\%$ от $S$, после второго — $40\%$ от $S$, после третьего — $20\%$ от $S$, после четвёртого — $0$ (кредит полностью погашен). Найдите $S$, если общая сумма выплат банку составила 1 240 000 рублей.
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей
Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей этого треугольника.
Площади треугольников в трапеции
Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. а) Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. б) Найдите площадь трапеции, если площади треугольников $BOC$ и $AOD$ равны $4$ и $9$.
Высота к гипотенузе и вписанная окружность
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC = 6$, $BC = 8$, $CH$ — высота, проведённая к гипотенузе. а) Докажите, что треугольники $ACH$ и $ABC$ подобны. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ACH$.
Равнобедренная трапеция с вписанной окружностью
В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC = 4$ и $AD = 16$ вписана окружность с центром $O$. а) Докажите, что угол $AOB$ прямой. б) Найдите площадь треугольника $AOB$.
Две касающиеся окружности и общая внешняя касательная
Две окружности радиусов $4$ и $9$ касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ — общая внешняя касательная к окружностям, $A$ и $B$ — точки касания (точка $A$ лежит на окружности меньшего радиуса). а) Докажите, что угол $AKB$ прямой. б) Найдите площадь треугольника $AKB$.
Основания высот остроугольного треугольника
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. а) Докажите, что треугольники $BC_1A_1$ и $BCA$ подобны. б) Найдите площадь четырёхугольника $AC_1A_1C$, если площадь треугольника $ABC$ равна $64$, а $\cos\angle B = \dfrac{3}{4}$.
Модуль квадратного трёхчлена и параметр
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\left|x^2 - 4x + 3\right| = a$ имеет ровно три различных корня.
Система с окружностью и модулем
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| + a \end{cases}$ имеет ровно три различных решения.
Расположение корней квадратного трёхчлена
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2 - 2(a - 1)x + a + 5 = 0$ имеет два различных корня, оба из которых больше $-1$.
Неравенство, верное при всех x
Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство $(a - 1)x^2 + (a - 1)x + 2 > 0$ выполняется при всех действительных $x$.
Показательное уравнение с параметром: ровно одно решение
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4^x - 2a\cdot 2^x + 4a - 3 = 0$ имеет ровно одно решение.
Полуокружность и пучок прямых
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{4 - x^2} = a(x + 3)$ имеет ровно два различных корня.
Число в 7 раз больше суммы цифр
а) Существует ли двузначное натуральное число, которое в 7 раз больше суммы своих цифр? б) Существует ли трёхзначное натуральное число, которое в 7 раз больше суммы своих цифр? в) Найдите все двузначные натуральные числа, каждое из которых в 7 раз больше суммы своих цифр.
Десять различных чисел с суммой 100
На доске написаны 10 различных натуральных чисел, их сумма равна 100. а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться 10? б) Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
Два числа с суммой 100 и их НОД
Сумма двух различных натуральных чисел равна 100. а) Могут ли эти числа иметь наибольший общий делитель, равный 5? б) Могут ли эти числа иметь наибольший общий делитель, равный 7? в) Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель этих чисел?
Арифметическая прогрессия из натуральных чисел с суммой 60
Сумма членов конечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равна $60$. В прогрессии не менее двух членов. а) Может ли прогрессия состоять из $5$ членов? б) Может ли прогрессия состоять из $9$ членов? в) Какое наибольшее число членов может быть в такой прогрессии?
Какое число стёрли из ряда 1, 2, …, n
Из набора натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots, n$ стёрли одно число. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно $18\dfrac{26}{35}$. а) Может ли $n$ быть равно $36$? б) Найдите $n$ и стёртое число.
Числа, делящиеся на произведение своих цифр
Натуральное число назовём «хорошим», если все его цифры ненулевые и оно делится на произведение своих цифр. а) Приведите пример трёхзначного «хорошего» числа с различными цифрами. б) Найдите все двузначные «хорошие» числа. в) Найдите все трёхзначные «хорошие» числа, у которых все три цифры одинаковы.